ลาปลาซทรานส์ฟอร์ม

ฟังก์ชันการแปลง Laplace
ตารางการแปลง Laplace
คุณสมบัติการแปลง Laplace
ตัวอย่างการแปลง Laplace

การแปลง Laplace แปลงฟังก์ชันโดเมนเวลาเป็นฟังก์ชัน s-domain โดยการรวมจากศูนย์ถึงไม่สิ้นสุด

ของฟังก์ชันโดเมนเวลา คูณด้วยe ^-st

การแปลง Laplace ใช้เพื่อหาคำตอบสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์และปริพันธ์อย่างรวดเร็ว

แหล่งที่มาของโดเมนเวลาถูกแปลงเป็นการคูณด้วย s ในโดเมน s

การรวมในโดเมนเวลาจะเปลี่ยนเป็นการหารด้วย s ในโดเมน s

ฟังก์ชันการแปลง Laplace

การแปลง Laplace ถูกกำหนดด้วยตัวดำเนินการL {}:

$F(s)=\mathcal{L}\left \{ f(t)\right \}=\int_{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt$

การแปลง Laplace ผกผัน

สามารถคำนวณการแปลง Laplace ผกผันได้โดยตรง

โดยปกติการแปลงผกผันจะได้รับจากตารางการแปลง

ตารางการแปลง Laplace

ชื่อฟังก์ชัน	ฟังก์ชันโดเมนเวลา	การแปลง Laplace
ชื่อฟังก์ชัน	f (t)	F(s) = L{f (t)}
คงที่	1	$\frac{1}{s}$
เชิงเส้น	ที	$\frac{1}{s^2}$
พลัง	tⁿ	$\frac{n!}{s^{n+1}}$
พลัง	t^a	Γ(a+1) ⋅ s ^-(a+1)
เลขชี้กำลัง	e^at	$\frac{1}{sa}$
ไซน์	sin at	$\frac{a}{s^2+a^2}$
โคไซน์	cos at	$\frac{s}{s^2+a^2}$
ไฮเปอร์โบลิกไซน์	sinh at	$\frac{a}{s^2-a^2}$
โคไซน์ไฮเปอร์โบลิก	cosh at	$\frac{s}{s^2-a^2}$
การปลูกไซน์	t sin at	$\frac{2as}{(s^2+a^2)^2}$
โคไซน์ที่กำลังเติบโต	t cos at	$\frac{s^2-a^2}{(s^2+a^2)^2}$
สลายไซน์	e^-atsin ωt	$\frac{\omega }{\left ( s+a \right )^2+\omega ^2}$
โคไซน์ที่สลายตัว	e^-atcos ωt	$\frac{s+a }{\left ( s+a \right )^2+\omega ^2}$
ฟังก์ชันเดลต้า	δ(t)	1
เดลต้าล่าช้า	δ(t-a)	e^-as

คุณสมบัติการแปลง Laplace

ชื่อทรัพย์สิน	ฟังก์ชันโดเมนเวลา	การแปลง Laplace	ความคิดเห็น
	f (t)	F(s)
เชิงเส้น	af ( เสื้อ )+ bg ( เสื้อ )	เอเอ ฟ ( s ) + bG ( s )	a , bเป็นค่าคงที่
เปลี่ยนมาตราส่วน	ฉ ( ที่ )	$\frac{1}{a}F\left ( \frac{s}{a} \right )$	> 0
กะ	จ^{- ที่} ฉ ( t )	F (ส+ ก)
ล่าช้า	ฉ ( ตะ )	จ^{- เป็น} F ( s )
รากศัพท์	$\frac{df(t)}{dt}$	sF ( s ) - ฉ (0)
รากศัพท์ N-th	$\frac{d^nf(t)}{dt^n}$	s ⁿ f ( s ) - s ^{n -1}f (0) - s ^{n -2}f '(0)-...- ฉ^{( n -1)} (0)
พลัง	t ⁿฉ ( t )	$(-1)^n\frac{d^nF(s)}{ds^n}$
การบูรณาการ	$\int_{0}^{t}f(x)dx$	$\frac{1}{s}F(s)$
ซึ่งกันและกัน	$\frac{1}{t}f(t)$	$\int_{s}^{\infty }F(x)dx$
คอนโวลูชั่น	ฉ ( เสื้อ ) * ก ( เสื้อ )	F ( s ) ⋅ G ( s )	* เป็นตัวดำเนินการบิด
ฟังก์ชันเป็นระยะ	ฉ ( เสื้อ ) = ฉ ( เสื้อ + T )	$\frac{1}{1-e^{-sT}}\int_{0}^{T}e^{-sx}f(x)dx$

ตัวอย่างการแปลง Laplace

ตัวอย่าง #1

ค้นหาการแปลงของ f(t):

f (t) = 3t + 2t²

สารละลาย:

ℒ{t} = 1/s²

ℒ{t²} = 2/s³

F(s) = ℒ{f (t)} = ℒ{3t + 2t²} = 3ℒ{t} + 2ℒ{t²} = 3/s² + 4/s³

ตัวอย่าง #2

ค้นหาการแปลงผกผันของ F:

F(s) = 3 / (s² + s - 6)

สารละลาย:

ในการหาการแปลงผกผัน เราจำเป็นต้องเปลี่ยนฟังก์ชันโดเมน s ให้เป็นรูปแบบที่ง่ายกว่า:

F(s) = 3 / (s² + s - 6) = 3 / [(s-2)(s+3)] = a / (s-2) + b / (s+3)

[a(s+3) + b(s-2)] / [(s-2)(s+3)] = 3 / [(s-2)(s+3)]

a(s+3) + b(s-2) = 3

ในการหา a และ b เราจะได้ 2 สมการ - หนึ่งใน s สัมประสิทธิ์และที่สองจากส่วนที่เหลือ:

(a+b)s + 3a-2b = 3

a+b = 0 , 3a-2b = 3

a = 3/5 , b = -3/5

F(s) = 3 / 5(s-2) - 3 / 5(s+3)

ตอนนี้สามารถแปลง F(s) ได้อย่างง่ายดายโดยใช้ตารางการแปลงสำหรับฟังก์ชันเลขชี้กำลัง:

f (t) = (3/5)e^2t - (3/5)e^-3t