Интеграл

Интеграција је обрнута операција деривације.

Интеграл функције је површина испод графика функције.

Дефиниција неодређеног интеграла

Када дФ(к)/дк = ф(к) => интеграл(ф(к)*дк) = Ф(к) + ц

Неодређена својства интеграла

интеграл(ф(к)+г(к))*дк = интеграл(ф(к)*дк) + интеграл(г(к)*дк)

интеграл(а*ф(к)*дк) = а*интеграл(ф(к)*дк)

интеграл(ф(а*к)*дк) = 1/а * Ф(а*к)+ц

интеграл(ф(к+б)*дк) = Ф(к+б)+ц

интеграл(ф(а*к+б)*дк) = 1/а * Ф(а*к+б) + ц

интеграл(дф(к)/дк * дк) = ф(к)

Промена интеграционе варијабле

Када ик = г(т)дк = г'(т)*дт

интеграл(ф(к)*дк) = интеграл(ф(г(т))*г'(т)*дт)

Интеграција по деловима

интеграл(ф(к)*г'(к)*дк) = ф(к)*г(к) - интеграл(ф'(к)*г(к)*дк)

Интегралс Табле

интеграл(ф(к)*дк = Ф(к) + ц

интеграл(а*дк) = а*к+ц

интеграл(к^н*дк) = 1/(а+1) * к^(а+1) + ц , када је а<>-1

интеграл(1/к*дк) = лн(абс(к)) + ц

интеграл(е^к*дк) = е^к + ц

интеграл(а^к*дк) = а^к / лн(к) + ц

интеграл(лн(к)*дк) = к*лн(к) - к + ц

интеграл(син(к)*дк) = -цос(к) + ц

интеграл(цос(к)*дк) = син(к) + ц

интеграл(тан(к)*дк) = -лн(абс(цос(к))) + ц

интеграл(арцсин(к)*дк) = к*арцсин(к) + скрт(1-к^2) + ц

интеграл(арццос(к)*дк) = к*арццос(к) - скрт(1-к^2) + ц

интеграл(арктан(к)*дк) = к*арктан(к) - 1/2*лн(1+к^2) + ц

интеграл(дк/(ак+б)) = 1/а*лн(абс(а*к+б)) + ц

интеграл(1/скрт(а^2-к^2)*дк) = арцсин(к/а) + ц

интеграл(1/скрт(к^2 +- а^2)*дк) = лн(абс(к + скрт(к^2 +- а^2)) + ц

интеграл(к*скрт(к^2-а^2)*дк) = 1/(а*арццос(к/а)) + ц

интеграл(1/(а^2+к^2)*дк) = 1/а*арктан(к/а) + ц

интеграл(1/(а^2-к^2)*дк) = 1/2а*лн(абс(((а+к)/(ак))) + ц

интеграл(синх(к)*дк) = цосх(к) + ц

интеграл(цосх(к)*дк) = синх(к) + ц

интеграл(танх(к)*дк) = лн(цосх(к)) + ц

 

Дефиниција дефинитивног интеграла

интеграл(а..б, ф(к)*дк) = лим(н->инф, сум(и=1..н, ф(з(и))*дк(и)))  

Кадак0=а, кн=б

дк(к) = к(к) - к(к-1)

к(к-1) <= з(к) <=к(к)

Дефинитивни интегрални прорачун

када ,

 дФ(к)/дк = ф(к)  и

интеграл(а..б, ф(к)*дк) = Ф(б) - Ф(а)  

Дефинитивна својства интеграла

интеграл(а..б, (ф(к)+г(к))*дк) = интеграл(а..б, ф(к)*дк) + интеграл(а..б, г(к)*дк )

интеграл(а..б, ц*ф(к)*дк) = ц*интеграл(а..б, ф(к)*дк)

интеграл(а..б, ф(к)*дк) = - интеграл(б..а, ф(к)*дк)

интеграл(а..б, ф(к)*дк) = интеграл(а..ц, ф(к)*дк) + интеграл(ц..б, ф(к)*дк)

абс( интеграл(а..б, ф(к)*дк) ) <= интеграл(а..б, абс(ф(к))*дк)

мин(ф(к))*(ба) <= интеграл(а..б, ф(к)*дк) <= мак(ф(к))*(ба) кадак члан [а,б]

Промена интеграционе варијабле

Када , , ,к = г(т)дк = г'(т)*дтг(алфа) = аг(бета) = б

интеграл(а..б, ф(к)*дк) = интеграл(алфа..бета, ф(г(т))*г'(т)*дт)

Интеграција по деловима

интеграл(а..б, ф(к)*г'(к)*дк) = интеграл(а..б, ф(к)*г(к)*дк) - интеграл(а..б, ф' (к)*г(к)*дк)

Теорема средње вредности

Када је ф ( к ) континуирано постоји тачка па ц је члан [а,б]

интеграл(а..б, ф(к)*дк) = ф(ц)*(ба)   

Трапезна апроксимација одређеног интеграла

интеграл(а..б, ф(к)*дк) ~ (ба)/н * (ф(к(0))/2 + ф(к(1)) + ф(к(2)) +.. .+ ф(к(н-1)) + ф(к(н))/2)

Гама функција

гама(к) = интеграл(0..инф, т^(к-1)*е^(-т)*дт

Гама функција је конвергентна за к> 0 .

Својства гама функције

G(x+1) = xG(x)

G(n+1) = n! , when nis member ofℕ (positive integer).

Бета функција

Б(к,и) = интеграл(0..1, т^(н-1)*(1-т)^(и-1)*дт

Бета функција и однос гама функције

Б(к,и) = Гама(к)*Гамма(и)/Гамма(к+и)

 

Advertising

 

 

РАЧУН
°• ЦмтоИнцхесЦонверт.цом •°