Изведена правила

Изведена правила и закони.Табела деривата функција.

Дефиниција изведенице

Извод функције је однос разлике вредности функције ф(к) у тачкама к+Δк и к са Δк, када је Δк бесконачно мало.Извод је нагиб функције или нагиб тангенте у тачки к.

 

f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

Други дериват

Други извод је дат са:

Или једноставно изведите први дериват:

f''(x)=(f'(x))'

Нтх дериват

н -ти извод сеизрачунава извођењем ф(к) н пута.

н -ти извод јеједнак изводу (н-1) извода:

f (n)(x) = [f (n-1)(x)]'

Пример:

Пронађите четврти извод од

ф ( к ) = 2 к 5

ф (4) ( к ) = [2 к 5 ]'''' = [10 к 4 ]''' = [40 к 3 ]'' = [120 к 2 ]' = 240 к

Дериват на графу функције

Извод функције је нагиб тангенцијалне праве.

Изведена правила

Правило изведеног збира

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)
Правило изведеног производа

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)
Правило изводног количника \лефт ( \фрац{ф(к)}{г(к)} \ригхт )'=\фрац{ф'(к)г(к)-ф(к)г'(к)}{г^2( Икс)}
Правило ланца изведеница

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

Правило изведеног збира

Када су а и б константе.

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)

Пример:

Пронађите дериват од:

3 к 2 + 4 к.

Према правилу збира:

а = 3, б = 4

ф ( к ) = к 2 , г ( к ) = к

ф ' ( к ) = 2 к , г' ( к ) = 1

(3 к 2 + 4 к )' = 3⋅2 к +4⋅1 = 6 к + 4

Правило изведеног производа

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)

Правило изводног количника

\left ( \frac{f(x)}{g(x)} \right )'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}

Правило ланца изведеница

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

Ово правило се може боље разумети уз Лагранжову нотацију:

\frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\cdot \frac{dg}{dx}

Линеарна апроксимација функције

За мали Δк, можемо добити апроксимацију на ф(к 0 +Δк), када знамо ф(к 0 ) и ф ' (к 0 ):

f (x0+Δx) ≈ f (x0) + f '(x0)⋅Δx

Табела деривата функција

Назив функције Функција Дериват

f (x)

 ф '( к )
Константно

const

0
Линеар

x

1
Снага

x a

a x a-1
Експоненцијално

e x

e x
Експоненцијално

a x

a x ln a
Природни логаритам

ln(x)

Логаритам

logb(x)

Сине

sin x

cos x
косинус

cos x

-sin x
Тангента

tan x

Арцсине

arcsin x

Арццосине

arccos x

Арктангент

arctan x
Хиперболички синус

sinh x

cosh x
Хиперболички косинус

cosh x

sinh x
Хиперболична тангента

tanh x

Инверзни хиперболички синус

sinh-1 x

Инверзни хиперболички косинус

cosh-1 x

Инверзна хиперболична тангента

tanh-1 x

Изведени примери

Пример #1

f (x) = x3+5x2+x+8

f ' (x) = 3x2+2⋅5x+1+0 = 3x2+10x+1

Пример #2

f (x) = sin(3x2)

Када примењујете правило ланца:

f ' (x) = cos(3x2) ⋅ [3x2]' = cos(3x2) ⋅ 6x

Тест другог деривата

Када је први извод функције нула у тачки к 0 .

f '(x0) = 0

Тада други извод у тачки к0 , ф''(к0 ) , може указивати на тип те тачке:

 

f ''(x0) > 0

 локални минимум

f ''(x0) < 0

 локални максимум

f ''(x0) = 0

 неодређено

 

Такође видети

Advertising

РАЧУН
°• ЦмтоИнцхесЦонверт.цом •°