Лапласова трансформација

Функција Лапласове трансформације
Лапласов стол за трансформацију
Својства Лапласове трансформације
Примери Лапласове трансформације

Лапласова трансформација конвертује функцију временског домена у функцију с-домена интеграцијом од нуле до бесконачности

функције временског домена, помножене са е ^-ст .

Лапласова трансформација се користи за брзо проналажење решења за диференцијалне једначине и интеграле.

Деривација у временском домену се трансформише у множење са с у с-домену.

Интеграција у временском домену се трансформише у дељење са с у с-домену.

Функција Лапласове трансформације

Лапласова трансформација је дефинисана помоћу Л {} оператора:

$F(s)=\mathcal{L}\left \{ f(t)\right \}=\int_{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt$

Инверзна Лапласова трансформација

Инверзна Лапласова трансформација се може израчунати директно.

Обично се инверзна трансформација даје из табеле трансформација.

Лапласов стол за трансформацију

Назив функције	Функција временског домена	Лапласова трансформација
Назив функције	f (t)	F(s) = L{f (t)}
Константно	1	$\фрац{1}{с}$
Линеар	т	$\фрац{1}{с^2}$
Снага	tⁿ	$\фрац{н!}{с^{н+1}}$
Снага	t^a	Γ(a+1) ⋅ s ^-(a+1)
Експонент	e^at	$\фрац{1}{са}$
Сине	sin at	$\фрац{а}{с^2+а^2}$
косинус	cos at	$\фрац{с}{с^2+а^2}$
Хиперболички синус	sinh at	$\фрац{а}{с^2-а^2}$
Хиперболички косинус	cosh at	$\фрац{с}{с^2-а^2}$
Растући синус	t sin at	$\фрац{2ас}{(с^2+а^2)^2}$
Растући косинус	t cos at	$\фрац{с^2-а^2}{(с^2+а^2)^2}$
Пропадајући синус	e^-atsin ωt	$\фрац{\омега }{\лефт (с+а \десно)^2+\омега ^2}$
Распадајући косинус	e^-atcos ωt	$\фрац{с+а }{\лефт ( с+а \десно )^2+\омега ^2}$
Делта функција	δ(t)	1
Одложена делта	δ(t-a)	e^-as

Својства Лапласове трансформације

Назив имовине	Функција временског домена	Лапласова трансформација	Коментар
	f (t)	F(s)
Линеарност	аф ( т )+ бг ( т )	аФ ( с ) + бГ ( с )	а , б су константне
Промена размера	ф ( у )	$\фрац{1}{а}Ф\лево ( \фрац{с}{а} \десно)$	а >0
Смена	е ^-ат ф ( т )	Ф ( с + а )
Кашњење	ф ( та )	е ^{- као} Ф ( с )
Деривација	$\фрац{дф(т)}{дт}$	сФ ( с ) - ф (0)
Н-та деривација	$\фрац{д^нф(т)}{дт^н}$	с ^н ф ( с ) - с ^{н -1}ф (0) - с ^{н -2}ф '(0)-...- ф ^{( н -1)} (0)
Снага	т ^н ф ( т )	$(-1)^н\фрац{д^нФ(с)}{дс^н}$
Интеграција	$\инт_{0}^{т}ф(к)дк$	$\фрац{1}{с}Ф(с)$
Реципрочан	$\фрац{1}{т}ф(т)$	$\инт_{с}^{\инфти }Ф(к)дк$
Цонволутион	ф ( т ) * г ( т )	Ф ( с ) ⋅ Г ( с )	* је оператор конволуције
Периодична функција	ф ( т ) = ф ( т + Т )	$\фрац{1}{1-е^{-сТ}}\инт_{0}^{Т}е^{-ск}ф(к)дк$

Примери Лапласове трансформације

Пример #1

Пронађите трансформацију ф(т):

f (t) = 3t + 2t²

Решење:

ℒ{t} = 1/s²

ℒ{t²} = 2/s³

F(s) = ℒ{f (t)} = ℒ{3t + 2t²} = 3ℒ{t} + 2ℒ{t²} = 3/s² + 4/s³

Пример #2

Пронађите инверзну трансформацију Ф(с):

F(s) = 3 / (s² + s - 6)

Решење:

Да бисмо пронашли инверзну трансформацију, морамо променити функцију домена с у једноставнији облик:

F(s) = 3 / (s² + s - 6) = 3 / [(s-2)(s+3)] = a / (s-2) + b / (s+3)

[a(s+3) + b(s-2)] / [(s-2)(s+3)] = 3 / [(s-2)(s+3)]

a(s+3) + b(s-2) = 3

Да бисмо пронашли а и б, добијамо 2 једначине - један од с коефицијената и други од осталих:

(a+b)s + 3a-2b = 3

a+b = 0 , 3a-2b = 3

a = 3/5 , b = -3/5

F(s) = 3 / 5(s-2) - 3 / 5(s+3)

Сада се Ф(ови) могу лако трансформисати коришћењем табеле трансформација за експонентну функцију:

f (t) = (3/5)e^2t - (3/5)e^-3t