Całka

Całkowanie jest odwrotną operacją wyprowadzania.

Całka funkcji to pole pod wykresem funkcji.

Definicja całki nieokreślonej

Gdy dF(x)/dx = f(x) => całka(f(x)*dx) = F(x) + c

Nieoznaczone właściwości całkowe

całka(f(x)+g(x))*dx = całka(f(x)*dx) + całka(g(x)*dx)

całka(a*f(x)*dx) = a*całka(f(x)*dx)

całka(f(a*x)*dx) = 1/a * F(a*x)+c

całka(f(x+b)*dx) = F(x+b)+c

całka(f(a*x+b)*dx) = 1/a * F(a*x+b) + c

całka(df(x)/dx * dx) = f(x)

Zmiana zmiennej całkującej

kiedy ix = g(t)dx = g'(t)*dt

całka(f(x)*dx) = całka(f(g(t))*g'(t)*dt)

Całkowanie przez części

całka(f(x)*g'(x)*dx) = f(x)*g(x) - całka(f'(x)*g(x)*dx)

Tabela całek

całka(f(x)*dx = F(x) + do

całka(a*dx) = a*x+c

całka(x^n*dx) = 1/(a+1) * x^(a+1) + c , gdy a<>-1

całka(1/x*dx) = ln(abs(x)) + do

całka(e^x*dx) = e^x + do

całka(a^x*dx) = a^x / ln(x) + do

całka(ln(x)*dx) = x*ln(x) - x + do

całka(sin(x)*dx) = -cos(x) + do

całka(cos(x)*dx) = sin(x) + do

całka(tg(x)*dx) = -ln(abs(cos(x))) + do

całka(arcsin(x)*dx) = x*arcsin(x) + sqrt(1-x^2) + c

całka(arccos(x)*dx) = x*arccos(x) - sqrt(1-x^2) + c

całka(arctan(x)*dx) = x*arctan(x) - 1/2*ln(1+x^2) + c

całka(dx/(ax+b)) = 1/a*ln(abs(a*x+b)) + c

całka(1/sqrt(a^2-x^2)*dx) = arcsin(x/a) + c

całka(1/kwadrat(x^2 +- a^2)*dx) = ln(abs(x + kwadrat(x^2 +- a^2)) + c

całka(x*sqrt(x^2-a^2)*dx) = 1/(a*arccos(x/a)) + c

całka(1/(a^2+x^2)*dx) = 1/a*arctan(x/a) + c

całka(1/(a^2-x^2)*dx) = 1/2a*ln(abs(((a+x)/(ax))) + c

całka(sinh(x)*dx) = cosh(x) + do

całka(cosh(x)*dx) = sinh(x) + do

całka(tanh(x)*dx) = ln(cosh(x)) + do

 

Definicja całki określonej

całka(a..b, f(x)*dx) = lim(n->inf, sum(i=1..n, f(z(i))*dx(i)))  

Gdyx0=a, xn=b

dx(k) = x(k) - x(k-1)

x(k-1) <= z(k) <=x(k)

Obliczenia całkowe określone

kiedy _

 dF(x)/dx = f(x)  I

całka(a..b, f(x)*dx) = F(b) - F(a)  

Właściwości całki określonej

całka(a..b, (f(x)+g(x))*dx) = całka(a..b, f(x)*dx) + całka(a..b, g(x)*dx) )

całka(a..b, c*f(x)*dx) = c*całka(a..b, f(x)*dx)

całka(a..b, f(x)*dx) = - całka(b..a, f(x)*dx)

całka(a..b, f(x)*dx) = całka(a..c, f(x)*dx) + całka(c..b, f(x)*dx)

abs( całka(a..b, f(x)*dx) ) <= całka(a..b, abs(f(x))*dx)

min(f(x))*(ba) <= całka(a..b, f(x)*dx) <= max(f(x))*(ba) Kiedyx członek [a,b]

Zmiana zmiennej całkującej

kiedy , , ,x = g(t)dx = g'(t)*dtg(alfa) = zag(beta) = b

całka(a..b, f(x)*dx) = całka(alfa..beta, f(g(t))*g'(t)*dt)

Całkowanie przez części

całka(a..b, f(x)*g'(x)*dx) = całka(a..b, f(x)*g(x)*dx) - całka(a..b, f' (x)*g(x)*dx)

Twierdzenie o wartości średniej

Kiedy f ( x ) jest ciągłe, istnieje punkt tak c jest członkiem [a,b]

całka(a..b, f(x)*dx) = f(c)*(ba)   

Trapezoidalne przybliżenie całki oznaczonej

całka(a..b, f(x)*dx) ~ (ba)/n * (f(x(0))/2 + f(x(1)) + f(x(2)) +.. .+ f(x(n-1)) + f(x(n))/2)

Funkcja Gamma

gamma(x) = całka(0..inf, t^(x-1)*e^(-t)*dt

Funkcja Gamma jest zbieżna dla x> 0 .

Właściwości funkcji gamma

G(x+1) = xG(x)

G(n+1) = n! , when nis member ofℕ (positive integer).

Funkcja beta

B(x,y) = całka(0..1, t^(n-1)*(1-t)^(y-1)*dt

Zależność funkcji beta i funkcji gamma

B(x,y) = Gamma(x)*Gamma(y)/Gamma(x+y)

 

Advertising

 

 

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY
°• CmtoInchesConvert.com •°