Reguły pochodne

Reguły i prawa pochodne.Tablica pochodnych funkcji.

Definicja pochodnej

Pochodna funkcji to stosunek różnicy wartości funkcji f(x) w punktach x+Δx i x z Δx, gdy Δx jest nieskończenie małe.Pochodna to nachylenie funkcji lub nachylenie linii stycznej w punkcie x.

 

f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

Druga pochodna

Druga pochodna jest dana wzorem:

Lub po prostu wyprowadź pierwszą pochodną:

f''(x)=(f'(x))'

N-ta pochodna

N -ta pochodna jest obliczana przez wyprowadzenie f(x) n razy.

n -ta pochodna jest równa pochodnej pochodnej (n-1):

f (n)(x) = [f (n-1)(x)]'

Przykład:

Znajdź czwartą pochodną

fa ( x ) = 2 x 5

fa (4) ( x ) = [2 x 5 ]'''' = [10 x 4 ]''' = [40 x 3 ]'' = [120 x 2 ]' = 240 x

Pochodna na wykresie funkcji

Pochodną funkcji jest nachylenie prostej stycznej.

Reguły pochodne

Reguła sumy pochodnej

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)
Reguła produktu pochodnego

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)
Zasada ilorazu pochodnego \left ( \frac{f(x)}{g(x)} \right )'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2( X)}
Reguła łańcucha pochodnych

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

Reguła sumy pochodnej

Gdy a i b są stałymi.

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)

Przykład:

Znajdź pochodną:

3x2+ 4x . _

Zgodnie z regułą sumy:

za = 3, b = 4

fa ( x ) = x 2 , sol ( x ) = x

fa ' ( x ) = 2 x , sol' ( x ) = 1

(3 x 2 + 4 x )' = 3⋅2 x +4⋅1 = 6 x + 4

Reguła produktu pochodnego

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)

Zasada ilorazu pochodnego

\left ( \frac{f(x)}{g(x)} \right )'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}

Reguła łańcucha pochodnych

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

Regułę tę można lepiej zrozumieć za pomocą notacji Lagrange'a:

\frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\cdot \frac{dg}{dx}

Przybliżenie liniowe funkcji

Dla małego Δx możemy uzyskać przybliżenie do f(x 0 +Δx), znając f(x 0 ) i f ' (x 0 ):

f (x0+Δx) ≈ f (x0) + f '(x0)⋅Δx

Tablica pochodnych funkcji

Nazwa funkcji Funkcjonować Pochodna

f (x)

 f '( x )
Stały

const

0
Liniowy

x

1
Moc

x a

a x a-1
Wykładniczy

e x

e x
Wykładniczy

a x

a x ln a
Naturalny logarytm

ln(x)

Logarytm

logb(x)

Sinus

sin x

cos x
Cosinus

cos x

-sin x
Tangens

tan x

Arcsine

arcsin x

Arccosine

arccos x

Arcus tangens

arctan x
Sinus hiperboliczny

sinh x

cosh x
Cosinus hiperboliczny

cosh x

sinh x
Tangens hiperboliczny

tanh x

Odwrotny sinus hiperboliczny

sinh-1 x

Odwrotny cosinus hiperboliczny

cosh-1 x

Odwrotny tangens hiperboliczny

tanh-1 x

Przykłady pochodne

Przykład 1

f (x) = x3+5x2+x+8

f ' (x) = 3x2+2⋅5x+1+0 = 3x2+10x+1

Przykład nr 2

f (x) = sin(3x2)

Stosując regułę łańcuchową:

f ' (x) = cos(3x2) ⋅ [3x2]' = cos(3x2) ⋅ 6x

Test drugiej pochodnej

Gdy pierwsza pochodna funkcji wynosi zero w punkcie x 0 .

f '(x0) = 0

Wtedy druga pochodna w punkcie x 0 , f''(x 0 ), może wskazywać typ tego punktu:

 

f ''(x0) > 0

 lokalne minimum

f ''(x0) < 0

 maksimum lokalne

f ''(x0) = 0

 nieokreślony

 

Zobacz też

Advertising

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY
°• CmtoInchesConvert.com •°