Transformacja Laplace'a

Funkcja transformaty Laplace'a
Tabela transformacji Laplace'a
Właściwości transformaty Laplace'a
Przykłady transformacji Laplace'a

Transformata Laplace'a przekształca funkcję w dziedzinie czasu w funkcję w dziedzinie s przez całkowanie od zera do nieskończoności

funkcji dziedziny czasu pomnożonej przez e ^-st .

Transformata Laplace'a służy do szybkiego znajdowania rozwiązań równań różniczkowych i całek.

Wyprowadzenie w dziedzinie czasu jest przekształcane na mnożenie przez s w dziedzinie s.

Całkowanie w dziedzinie czasu przekształca się w dzielenie przez s w dziedzinie s.

Funkcja transformaty Laplace'a

Transformatę Laplace'a definiuje się za pomocą operatora L {}:

$F(s)=\mathcal{L}\left \{ f(t)\right \}=\int_{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt$

Odwrotna transformata Laplace'a

Odwrotną transformatę Laplace'a można obliczyć bezpośrednio.

Zwykle transformata odwrotna jest podawana z tabeli transformacji.

Tabela transformacji Laplace'a

Nazwa funkcji	Funkcja dziedziny czasu	Transformata Laplace'a
Nazwa funkcji	f (t)	F(s) = L{f (t)}
Stały	1	$\frac{1}{s}$
Liniowy	T	$\frac{1}{s^2}$
Moc	tⁿ	$\frac{n!}{s^{n+1}}$
Moc	t^a	Γ(a+1) ⋅ s ^-(a+1)
Wykładnik potęgowy	e^at	$\frac{1}{sa}$
Sinus	sin at	$\frac{a}{s^2+a^2}$
Cosinus	cos at	$\frac{s}{s^2+a^2}$
Sinus hiperboliczny	sinh at	$\frac{a}{s^2-a^2}$
Cosinus hiperboliczny	cosh at	$\frac{s}{s^2-a^2}$
Rosnący sinus	t sin at	$\frac{2as}{(s^2+a^2)^2}$
Rosnący cosinus	t cos at	$\frac{s^2-a^2}{(s^2+a^2)^2}$
Zanikający sinus	e^-atsin ωt	$\frac{\omega }{\left ( s+a \right )^2+\omega ^2}$
Rozkładający się cosinus	e^-atcos ωt	$\frac{s+a }{\left ( s+a \right )^2+\omega ^2}$
Funkcja delta	δ(t)	1
Opóźniona delta	δ(t-a)	e^-as

Właściwości transformaty Laplace'a

Nazwa właściwości	Funkcja dziedziny czasu	Transformata Laplace'a	Komentarz
	f (t)	F(s)
Liniowość	za ( t ) + bg ( t )	aF ( s ) + bG ( s )	a , b są stałe
Zmiana skali	f ( o )	$\frac{1}{a}F\left ( \frac{s}{a} \right )$	> 0
Zmiana	e ^-w f ( t )	fa ( s + za )
Opóźnienie	fa ( ta )	e ^{- jak} F ( s )
Pochodzenie	$\frac{df(t)}{dt}$	sF ( s ) - f (0)
N-te wyprowadzenie	$\frac{d^nf(t)}{dt^n}$	s ⁿ fa ( s ) - s ^{n -1}fa (0) - s ^{n -2}fa '(0)-...- fa ^{( n -1)} (0)
Moc	t ⁿ fa ( t )	$(-1)^n\frac{d^nF(s)}{ds^n}$
Integracja	$\int_{0}^{t}f(x)dx$	$\frac{1}{s}F(s)$
Odwrotność	$\frac{1}{t}f(t)$	$\int_{s}^{\infty}F(x)dx$
Skręt	fa ( t ) * g ( t )	fa ( s ) ⋅ sol ( s )	* jest operatorem splotu
Funkcja okresowa	fa ( t ) = fa ( t + T )	$\frac{1}{1-e^{-sT}}\int_{0}^{T}e^{-sx}f(x)dx$

Przykłady transformacji Laplace'a

Przykład 1

Znajdź transformatę f(t):

f (t) = 3t + 2t²

Rozwiązanie:

ℒ{t} = 1/s²

ℒ{t²} = 2/s³

F(s) = ℒ{f (t)} = ℒ{3t + 2t²} = 3ℒ{t} + 2ℒ{t²} = 3/s² + 4/s³

Przykład nr 2

Znajdź odwrotną transformatę F(s):

F(s) = 3 / (s² + s - 6)

Rozwiązanie:

Aby znaleźć transformatę odwrotną, musimy zmienić funkcję dziedziny s na prostszą postać:

F(s) = 3 / (s² + s - 6) = 3 / [(s-2)(s+3)] = a / (s-2) + b / (s+3)

[a(s+3) + b(s-2)] / [(s-2)(s+3)] = 3 / [(s-2)(s+3)]

a(s+3) + b(s-2) = 3

Aby znaleźć aib, otrzymujemy 2 równania - jeden ze współczynników s i drugi z pozostałych:

(a+b)s + 3a-2b = 3

a+b = 0 , 3a-2b = 3

a = 3/5 , b = -3/5

F(s) = 3 / 5(s-2) - 3 / 5(s+3)

Teraz F(s) można łatwo przekształcić za pomocą tabeli przekształceń dla funkcji wykładniczej:

f (t) = (3/5)e^2t - (3/5)e^-3t