Integraal

Integratie is de omgekeerde bewerking van afleiding.

De integraal van een functie is de oppervlakte onder de grafiek van de functie.

Definitie van onbepaalde integralen

Wanneer dF(x)/dx = f(x) => integraal(f(x)*dx) = F(x) + c

Onbepaalde integrale eigenschappen

integraal(f(x)+g(x))*dx = integraal(f(x)*dx) + integraal(g(x)*dx)

integraal(a*f(x)*dx) = a*integraal(f(x)*dx)

integraal(f(a*x)*dx) = 1/a * F(a*x)+c

integraal(f(x+b)*dx) = F(x+b)+c

integraal(f(a*x+b)*dx) = 1/a * F(a*x+b) + c

integraal(df(x)/dx * dx) = f(x)

Verandering van integratievariabele

Wanneer enx = g(t)dx = g'(t)*dt

integraal(f(x)*dx) = integraal(f(g(t))*g'(t)*dt)

Integratie door delen

integraal(f(x)*g'(x)*dx) = f(x)*g(x) - integraal(f'(x)*g(x)*dx)

integralen tabel

integraal(f(x)*dx = F(x) + c

integraal(a*dx) = a*x+c

integraal(x^n*dx) = 1/(a+1) * x^(a+1) + c , wanneer a<>-1

integraal(1/x*dx) = ln(abs(x)) + c

integraal(e^x*dx) = e^x + c

integraal(a^x*dx) = a^x / ln(x) + c

integraal(ln(x)*dx) = x*ln(x) - x + c

integraal(sin(x)*dx) = -cos(x) + c

integraal(cos(x)*dx) = sin(x) + c

integraal(tan(x)*dx) = -ln(abs(cos(x))) + c

integraal(arcsin(x)*dx) = x*arcsin(x) + sqrt(1-x^2) + c

integraal(arccos(x)*dx) = x*arccos(x) - sqrt(1-x^2) + c

integraal(arctan(x)*dx) = x*arctan(x) - 1/2*ln(1+x^2) + c

integraal(dx/(ax+b)) = 1/a*ln(abs(a*x+b)) + c

integraal(1/sqrt(a^2-x^2)*dx) = arcsin(x/a) + c

integraal(1/sqrt(x^2 +- a^2)*dx) = ln(abs(x + sqrt(x^2 +- a^2)) + c

integraal(x*sqrt(x^2-a^2)*dx) = 1/(a*arccos(x/a)) + c

integraal(1/(a^2+x^2)*dx) = 1/a*arctan(x/a) + c

integraal(1/(a^2-x^2)*dx) = 1/2a*ln(abs(((a+x)/(ax))) + c

integraal(sinh(x)*dx) = cosh(x) + c

integraal(cosh(x)*dx) = sinh(x) + c

integraal(tanh(x)*dx) = ln(cosh(x)) + c

 

Definitieve integrale definitie

integraal(a..b, f(x)*dx) = lim(n->inf, som(i=1..n, f(z(i))*dx(i)))  

Wanneerx0=a, xn=b

dx(k) = x(k) - x(k-1)

x(k-1) <= z(k) <=x(k)

Definitieve integrale berekening

wanneer ,

 dF(x)/dx = f(x)  En

integraal(a..b, f(x)*dx) = F(b) - F(a)  

Bepaalde integrale eigenschappen

integraal(a..b, (f(x)+g(x))*dx) = integraal(a..b, f(x)*dx) + integraal(a..b, g(x)*dx )

integraal(a..b, c*f(x)*dx) = c*integraal(a..b, f(x)*dx)

integraal(a..b, f(x)*dx) = - integraal(b..a, f(x)*dx)

integraal(a..b, f(x)*dx) = integraal(a..c, f(x)*dx) + integraal(c..b, f(x)*dx)

abs( integraal(a..b, f(x)*dx) ) <= integraal(a..b, abs(f(x))*dx)

min(f(x))*(ba) <= integraal(a..b, f(x)*dx) <= max(f(x))*(ba) wanneerx lid van [a,b]

Verandering van integratievariabele

Wanneer , , ,x = g(t)dx = g'(t)*dtg(alfa) = ag(bèta) = b

integraal(a..b, f(x)*dx) = integraal(alfa..beta, f(g(t))*g'(t)*dt)

Integratie door delen

integraal(a..b, f(x)*g'(x)*dx) = integraal(a..b, f(x)*g(x)*dx) - integraal(a..b, f' (x)*g(x)*dx)

Stelling van de gemiddelde waarde

Alsf (x ) continu is, is er een punt zo c is lid van [a,b]

integraal(a..b, f(x)*dx) = f(c)*(ba)   

Trapeziumbenadering van bepaalde integraal

integraal(a..b, f(x)*dx) ~ (ba)/n * (f(x(0))/2 + f(x(1)) + f(x(2)) +.. .+ f(x(n-1)) + f(x(n))/2)

De Gamma-functie

gamma(x) = integraal(0..inf, t^(x-1)*e^(-t)*dt

De Gamma-functie is convergent voorx> 0.

Gamma-functie-eigenschappen

G(x+1) = xG(x)

G(n+1) = n! , when nis member ofℕ (positive integer).

De bètafunctie

B(x,y) = integraal(0..1, t^(n-1)*(1-t)^(y-1)*dt

Bètafunctie en gammafunctierelatie

B(x,y) = Gamma(x)*Gamma(y)/Gamma(x+y)

 

Advertising

 

 

REKENING
°• CmtoInchesConvert.com •°