Laplace-transformatie

Laplace-transformatiefunctie
Laplace-transformatietabel
Eigenschappen van Laplace-transformatie
Voorbeelden van Laplace-transformaties

Laplace-transformatie converteert een tijddomeinfunctie naar een s-domeinfunctie door integratie van nul naar oneindig

van de tijdsdomeinfunctie, vermenigvuldigd met e ^-st .

De Laplace-transformatie wordt gebruikt om snel oplossingen te vinden voor differentiaalvergelijkingen en integralen.

Afleiding in het tijdsdomein wordt omgezet in vermenigvuldiging met s in het s-domein.

Integratie in het tijdsdomein wordt getransformeerd naar deling door s in het s-domein.

Laplace-transformatiefunctie

De Laplace-transformatie wordt gedefinieerd met de operator L {}:

$F(s)=\mathcal{L}\left \{ f(t)\right \}=\int_{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt$

Inverse Laplace-transformatie

De inverse Laplace-transformatie kan direct worden berekend.

Gewoonlijk wordt de inverse transformatie gegeven vanuit de transformatietabel.

Laplace-transformatietabel

Functie naam	Functie in het tijdsdomein	Laplace-transformatie
Functie naam	f (t)	F(s) = L{f (t)}
Constante	1	$\frac{1}{s}$
Lineair	T	$\frac{1}{s^2}$
Stroom	tⁿ	$\frac{n!}{s^{n+1}}$
Stroom	t^a	Γ(a+1) ⋅ s ^-(a+1)
Exponent	e^at	$\frac{1}{sa}$
Sinus	sin at	$\frac{a}{s^2+a^2}$
Cosinus	cos at	$\frac{s}{s^2+a^2}$
Hyperbolische sinus	sinh at	$\frac{a}{s^2-a^2}$
Hyperbolische cosinus	cosh at	$\frac{s}{s^2-a^2}$
Groeiende sinus	t sin at	$\frac{2as}{(s^2+a^2)^2}$
Groeiende cosinus	t cos at	$\frac{s^2-a^2}{(s^2+a^2)^2}$
Vervallende sinus	e^-atsin ωt	$\frac{\omega} {\links ( s+a \right)^2+\omega ^2}$
Vervallende cosinus	e^-atcos ωt	$\frac{s+a }{\links ( s+a \rechts)^2+\omega ^2}$
Delta-functie	δ(t)	1
Vertraagde delta	δ(t-a)	e^-as

Eigenschappen van Laplace-transformatie

Eigendomsnaam	Functie in het tijdsdomein	Laplace-transformatie	Opmerking
	f (t)	F(s)
Lineariteit	af ( t )+ bg ( t )	aF ( s ) + bG ( s )	a , b zijn constant
Schaal verandering	f ( bij )	$\frac{1}{a}F\links ( \frac{s}{a} \right )$	een >0
Verschuiving	e ^-bij f ( t )	F ( s + een )
Vertraging	f ( ta )	e ^{- als} F ( s )
Afleiding	$\frac{df(t)}{dt}$	sF ( s ) - f (0)
N-de afleiding	$\frac{d^nf(t)}{dt^n}$	s ⁿ f ( s ) - s ^{n -1}f (0) - s ^{n -2}f '(0)-...- f ^{( n -1)} (0)
Stroom	t ⁿ f ( t )	$(-1)^n\frac{d^nF(s)}{ds^n}$
Integratie	$\int_{0}^{t}f(x)dx$	$\frac{1}{s}F(s)$
Wederkerig	$\frac{1}{t}f(t)$	$\int_{s}^{\infty }F(x)dx$
Convolutie	f ( t ) * g ( t )	F ( s ) ⋅ G ( s )	* is de convolutie-operator
Periodieke functie	f ( t ) = f ( t + T )	$\frac{1}{1-e^{-sT}}\int_{0}^{T}e^{-sx}f(x)dx$

Voorbeelden van Laplace-transformaties

Voorbeeld 1

Zoek de transformatie van f(t):

f (t) = 3t + 2t²

Oplossing:

ℒ{t} = 1/s²

ℒ{t²} = 2/s³

F(s) = ℒ{f (t)} = ℒ{3t + 2t²} = 3ℒ{t} + 2ℒ{t²} = 3/s² + 4/s³

Voorbeeld #2

Zoek de inverse transformatie van F(s):

F(s) = 3 / (s² + s - 6)

Oplossing:

Om de inverse transformatie te vinden, moeten we de s-domeinfunctie wijzigen in een eenvoudigere vorm:

F(s) = 3 / (s² + s - 6) = 3 / [(s-2)(s+3)] = a / (s-2) + b / (s+3)

[a(s+3) + b(s-2)] / [(s-2)(s+3)] = 3 / [(s-2)(s+3)]

a(s+3) + b(s-2) = 3

Om a en b te vinden, krijgen we 2 vergelijkingen - een van de s-coëfficiënten en de tweede van de rest:

(a+b)s + 3a-2b = 3

a+b = 0 , 3a-2b = 3

a = 3/5 , b = -3/5

F(s) = 3 / 5(s-2) - 3 / 5(s+3)

Nu kan F(s) eenvoudig worden getransformeerd door de transformatietabel voor exponentfunctie te gebruiken:

f (t) = (3/5)e^2t - (3/5)e^-3t