Convolutie

Convolutie is de correlatiefunctie van f(τ) met de omgekeerde functie g(t-τ).

De convolutie-operator is het asterisk-symbool* .

De convolutie van f(t) en g(t) is gelijk aan de integraal van f(τ) maal f(t-τ):

$f(t)*g(t)=\int_{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )d\tau$

Convolutie van 2 discrete functies wordt gedefinieerd als:

$f(n)*g(n)=\sum_{k=-\infty }^{\infty }f(k)\: g(nk)$

2-dimensionale discrete convolutie wordt meestal gebruikt voor beeldverwerking.

$f(n,m)*g(n,m)=\sum_{j=-\infty }^{\infty }\sum_{k=-\infty }^{\infty }f(j,k)\: g(nj,mk)$

We kunnen het discrete ingangssignaal x(n) filteren door convolutie met de impulsresponsie h(n) om het uitgangssignaal y(n) te krijgen.

y(n) = x(n) * h(n)

De Fourier-transformatie van een vermenigvuldiging van 2 functies is gelijk aan de convolutie van de Fourier-transformaties van elke functie:

ℱ{f ⋅ g} = ℱ{f } * ℱ{g}

De Fourier-transformatie van een convolutie van 2 functies is gelijk aan de vermenigvuldiging van de Fourier-transformaties van elke functie:

ℱ{f * g} = ℱ{f } ⋅ ℱ{g}

ℱ{f (t) ⋅ g(t)} = ℱ{f (t)} * ℱ{g(t)} = F(ω) * G(ω)

ℱ{f (t) * g(t)} = ℱ{f (t)} ⋅ ℱ{g(t)} = F(ω) ⋅ G(ω)

ℱ{f (n) ⋅ g(n)} = ℱ{f (n)} * ℱ{g(n)} = F(k) * G(k)

ℱ{f (n) * g(n)} = ℱ{f (n)} ⋅ ℱ{g(n)} = F(k) ⋅ G(k)

ℒ{f (t) * g(t)} = ℒ{f (t)} ⋅ ℒ{g(t)} = F(s) ⋅ G(s)

Zie ook