Afgeleide regels

Afgeleide regels en wetten.Tabel afgeleiden van functies.

Afgeleide definitie

De afgeleide van een functie is de verhouding van het verschil van de functiewaarde f(x) op de punten x+Δx en x met Δx, wanneer Δx oneindig klein is.De afgeleide is de functie helling of helling van de raaklijn in punt x.

 

f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

Tweede afgeleide

De tweede afgeleide wordt gegeven door:

Of leid gewoon de eerste afgeleide af:

f''(x)=(f'(x))'

Nde afgeleide

De n -de afgeleide wordt berekend door f(x) n keer af te leiden.

De n de afgeleide is gelijk aan de afgeleide van de (n-1) afgeleide:

f (n)(x) = [f (n-1)(x)]'

Voorbeeld:

Zoek de vierde afgeleide van

f ( x ) = 2 x 5

f (4) ( x ) = [2 x 5 ]'''' = [10 x 4 ]''' = [40 x 3 ]'' = [120 x 2 ]' = 240 x

Afgeleide op grafiek van functie

De afgeleide van een functie is de helling van de raaklijn.

Afgeleide regels

Afgeleide somregel

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)
Afgeleide productregel

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)
Afgeleide quotiëntregel \links ( \frac{f(x)}{g(x)} \right )'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2( X)}
Afgeleide kettingregel

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

Afgeleide somregel

Als a en b constanten zijn.

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)

Voorbeeld:

Zoek de afgeleide van:

3 x 2 + 4 x.

Volgens de somregel:

een = 3, b = 4

f ( x ) = x 2 , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x 2 + 4 x )' = 3⋅2 x +4⋅1 = 6 x + 4

Afgeleide productregel

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)

Afgeleide quotiëntregel

\left ( \frac{f(x)}{g(x)} \right )'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}

Afgeleide kettingregel

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

Deze regel kan beter worden begrepen met de notatie van Lagrange:

\frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\cdot \frac{dg}{dx}

Functie lineaire benadering

Voor kleine Δx kunnen we een benadering krijgen van f(x 0 +Δx), als we f(x 0 ) en f ' (x 0 ) kennen:

f (x0+Δx) ≈ f (x0) + f '(x0)⋅Δx

Tabel afgeleiden van functies

Functie naam Functie Derivaat

f (x)

 f '( x )
Constante

const

0
Lineair

x

1
Stroom

x a

a x a-1
Exponentieel

e x

e x
Exponentieel

a x

a x ln a
Natuurlijke logaritme

ln(x)

Logaritme

logb(x)

Sinus

sin x

cos x
Cosinus

cos x

-sin x
Raaklijn

tan x

Arcsinus

arcsin x

Arccosinus

arccos x

Boogtangens

arctan x
Hyperbolische sinus

sinh x

cosh x
Hyperbolische cosinus

cosh x

sinh x
Hyperbolische raaklijn

tanh x

Inverse hyperbolische sinus

sinh-1 x

Inverse hyperbolische cosinus

cosh-1 x

Inverse hyperbolische tangens

tanh-1 x

Afgeleide voorbeelden

Voorbeeld 1

f (x) = x3+5x2+x+8

f ' (x) = 3x2+2⋅5x+1+0 = 3x2+10x+1

Voorbeeld #2

f (x) = sin(3x2)

Bij toepassing van de kettingregel:

f ' (x) = cos(3x2) ⋅ [3x2]' = cos(3x2) ⋅ 6x

Tweede afgeleide test

Wanneer de eerste afgeleide van een functie nul is op punt x 0 .

f '(x0) = 0

Dan kan de tweede afgeleide op punt x 0 , f''(x 0 ), het type van dat punt aangeven:

 

f ''(x0) > 0

 lokaal minimaal

f ''(x0) < 0

 lokaal maximum

f ''(x0) = 0

 onbepaald

 

Zie ook

Advertising

REKENING
°• CmtoInchesConvert.com •°