अविभाज्य

एकत्रीकरण म्हणजे व्युत्पत्तीचे उलट ऑपरेशन.

फंक्शनचा इंटिग्रल म्हणजे फंक्शनच्या आलेखाखालील क्षेत्रफळ.

अनिश्चित अविभाज्य व्याख्या

कधी dF(x)/dx = f(x) => इंटिग्रल(f(x)*dx) = F(x) + c

अनिश्चित अविभाज्य गुणधर्म

इंटिग्रल(f(x)+g(x))*dx = इंटिग्रल(f(x)*dx) + इंटिग्रल(g(x)*dx

इंटिग्रल(a*f(x)*dx) = a*इंटग्रल(f(x)*dx)

इंटिग्रल(f(a*x)*dx) = 1/a * F(a*x)+c

इंटिग्रल(f(x+b)*dx) = F(x+b)+c

इंटिग्रल(f(a*x+b)*dx) = 1/a * F(a*x+b) + c

इंटिग्रल(df(x)/dx * dx) = f(x)

इंटिग्रेशन व्हेरिएबल चे बदल

केव्हा आणिx = g(t)dx = g'(t)*dt

इंटिग्रल(f(x)*dx) = इंटिग्रल(f(g(t))*g'(t)*dt)

भागांद्वारे एकत्रीकरण

इंटिग्रल(f(x)*g'(x)*dx) = f(x)*g(x) - इंटिग्रल(f'(x)*g(x)*dx

इंटिग्रल्स टेबल

इंटिग्रल(f(x)*dx = F(x) + c

इंटिग्रल(a*dx) = a*x+c

इंटिग्रल(x^n*dx) = 1/(a+1) * x^(a+1) + c , जेव्हा a<>-1

इंटिग्रल(1/x*dx) = ln(abs(x)) + c

इंटिग्रल(e^x*dx) = e^x + c

इंटिग्रल(a^x*dx) = a^x / ln(x) + c

इंटिग्रल(ln(x)*dx) = x*ln(x) - x + c

इंटिग्रल(sin(x)*dx) = -cos(x) + c

इंटिग्रल(cos(x)*dx) = sin(x) + c

इंटिग्रल(tan(x)*dx) = -ln(abs(cos(x))) + c

इंटिग्रल(arcsin(x)*dx) = x*arcsin(x) + sqrt(1-x^2) + c

इंटिग्रल(arccos(x)*dx) = x*arccos(x) - sqrt(1-x^2) + c

इंटिग्रल(आर्कटन(x)*dx) = x*arctan(x) - 1/2*ln(1+x^2) + c

इंटिग्रल(dx/(ax+b)) = 1/a*ln(abs(a*x+b)) + c

इंटिग्रल(1/sqrt(a^2-x^2)*dx) = arcsin(x/a) + c

इंटिग्रल(1/sqrt(x^2 +- a^2)*dx) = ln(abs(x + sqrt(x^2 +- a^2)) + c

इंटिग्रल(x*sqrt(x^2-a^2)*dx) = 1/(a*arccos(x/a)) + c

इंटिग्रल(1/(a^2+x^2)*dx) = 1/a*arctan(x/a) + c

इंटिग्रल(1/(a^2-x^2)*dx) = 1/2a*ln(abs(((a+x)/(ax))) + c

इंटिग्रल(sinh(x)*dx) = cosh(x) + c

इंटिग्रल(cosh(x)*dx) = sinh(x) + c

इंटिग्रल(tanh(x)*dx) = ln(cosh(x)) + c

 

निश्चित अविभाज्य व्याख्या

इंटिग्रल(a..b, f(x)*dx) = lim(n->inf, sum(i=1..n, f(z(i))*dx(i)))  

कधीx0=a, xn=b

dx(k) = x(k) - x(k-1)

x(k-1) <= z(k) <=x(k)

निश्चित अखंड गणना

जेव्हा ,

 dF(x)/dx = f(x)  आणि

इंटिग्रल(a..b, f(x)*dx) = F(b) - F(a)  

निश्चित अविभाज्य गुणधर्म

इंटिग्रल(a..b, (f(x)+g(x))*dx) = इंटिग्रल(a..b, f(x)*dx) + इंटिग्रल(a..b, g(x)*dx )

इंटिग्रल(a..b, c*f(x)*dx) = c*इंटग्रल(a..b, f(x)*dx)

इंटिग्रल(a..b, f(x)*dx) = - इंटिग्रल(b..a, f(x)*dx)

इंटिग्रल(a..b, f(x)*dx) = इंटिग्रल(a..c, f(x)*dx) + इंटिग्रल(c..b, f(x)*dx)

abs( इंटिग्रल(a..b, f(x)*dx) ) <= इंटिग्रल(a..b, abs(f(x))*dx)

min(f(x))*(ba) <= integral(a..b, f(x)*dx) <= कमाल(f(x))*(ba) कधी[a,b] चे x सदस्य

इंटिग्रेशन व्हेरिएबल चे बदल

केव्हा , , ,x = g(t)dx = g'(t)*dtg(alpha) = ag(beta) = b

इंटिग्रल(a..b, f(x)*dx) = इंटिग्रल(alpha..beta, f(g(t))*g'(t)*dt)

भागांद्वारे एकत्रीकरण

इंटिग्रल(a..b, f(x)*g'(x)*dx) = इंटिग्रल(a..b, f(x)*g(x)*dx) - इंटिग्रल(a..b, f' (x)*g(x)*dx)

सरासरी मूल्य प्रमेय

जेव्हाf (x ) सतत असतो तेव्हा एक बिंदू असतो c चा सदस्य आहे [a,b]

इंटिग्रल(a..b, f(x)*dx) = f(c)*(ba)   

निश्चित इंटिग्रलचे ट्रॅपेझॉइडल अंदाजे

इंटिग्रल(a..b, f(x)*dx) ~ (ba)/n * (f(x(0))/2 + f(x(1)) + f(x(2)) +.. .+ f(x(n-1)) + f(x(n))/2)

गामा फंक्शन

gamma(x) = integral(0..inf, t^(x-1)*e^(-t)*dt

गामा फंक्शन x> 0 साठी अभिसरण आहे.

गामा फंक्शन गुणधर्म

G(x+1) = xG(x)

G(n+1) = n! , when nis member ofℕ (positive integer).

बीटा फंक्शन

B(x,y) = इंटिग्रल(0..1, t^(n-1)*(1-t)^(y-1)*dt

बीटा फंक्शन आणि गामा फंक्शन रिलेशन

B(x,y) = Gamma(x)*Gamma(y)/Gamma(x+y)

 

Advertising

 

 

कॅल्कुलस
°• CmtoInchesConvert.com •°