व्युत्पन्न नियम

व्युत्पन्न नियम आणि कायदे.फंक्शन्स टेबलचे व्युत्पन्न.

• व्युत्पन्न व्याख्या
• व्युत्पन्न नियम
• फंक्शन्स टेबलचे व्युत्पन्न
• व्युत्पन्न उदाहरणे

व्युत्पन्न व्याख्या

फंक्शनचे व्युत्पन्न म्हणजे Δx सह बिंदू x+Δx आणि x वरील फंक्शन व्हॅल्यू f(x) च्या फरकाचे गुणोत्तर, जेव्हा Δx अमर्यादपणे लहान असतो.डेरिव्हेटिव्ह म्हणजे बिंदू x वरील स्पर्शरेषेचा उतार किंवा उतार.

 

दुसरा व्युत्पन्न

दुसरे व्युत्पन्न दिले आहे:

किंवा फक्त प्रथम व्युत्पन्न मिळवा:

Nth व्युत्पन्न

n व्याव्युत्पन्नाची गणना f(x) n वेळा करून केली जाते.

n व्या व्युत्पन्न हे (n-1) व्युत्पन्नाच्या समान आहे:

f ⁽ⁿ⁾(x) = [f ^(n-1)(x)]'

उदाहरण:

चा चौथा व्युत्पन्न शोधा

f ( x ) = 2 x ⁵

f ⁽⁴⁾ ( x ) = [2 x ⁵ ]'''' = [10 x ⁴ ]'' '' = [40 x ³ ] '' = [120 x ² ]' = 240 x

कार्याच्या आलेखावर व्युत्पन्न

फंक्शनचे व्युत्पन्न हे स्पर्शरेषेचा उतार आहे.

व्युत्पन्न नियम

व्युत्पन्न बेरीज नियम	( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)
व्युत्पन्न उत्पादन नियम	( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)
व्युत्पन्न भागफल नियम
व्युत्पन्न साखळी नियम	f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

व्युत्पन्न बेरीज नियम

जेव्हा a आणि b स्थिरांक असतात.

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)

उदाहरण:

याचे व्युत्पन्न शोधा:

३ x ^२ + ४ x.

बेरीज नियमानुसार:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x ² , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x ² + 4 x )' = 3⋅2 x +4⋅1 = 6 x + 4

व्युत्पन्न उत्पादन नियम

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)

व्युत्पन्न भागफल नियम

व्युत्पन्न साखळी नियम

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

हा नियम Lagrange च्या नोटेशनसह अधिक चांगल्या प्रकारे समजू शकतो:

कार्य रेखीय अंदाजे

_{लहान Δx साठी, जेव्हा आपल्याला f(x 0} ) आणि f ' (x_{0 ) माहित असते तेव्हा आम्ही f(x0} +Δx)चे अंदाजे मोजू शकतो:

f (x₀+Δx) ≈ f (x₀) + f '(x₀)⋅Δx

फंक्शन्स टेबलचे व्युत्पन्न

फंक्शनचे नाव	कार्य	व्युत्पन्न
	f (x)	f '( x )
स्थिर	const	0
रेखीय	x	1
शक्ती	x a	a x a-1
घातांक	e x	e x
घातांक	a x	a x ln a
नैसर्गिक लॉगरिदम	ln(x)
लॉगरिदम	logb(x)
साइन	sin x	cos x
कोसाइन	cos x	-sin x
स्पर्शिका	tan x
आर्कसिन	arcsin x
अर्कोसाइन	arccos x
आर्कटांजेंट	arctan x
हायपरबोलिक साइन	sinh x	cosh x
हायपरबोलिक कोसाइन	cosh x	sinh x
हायपरबोलिक स्पर्शिका	tanh x
व्यस्त हायपरबोलिक साइन	sinh-1 x
व्यस्त हायपरबोलिक कोसाइन	cosh-1 x
व्यस्त अतिपरवलय स्पर्शिका	tanh-1 x

व्युत्पन्न उदाहरणे

उदाहरण #1

f (x) = x³+5x²+x+8

f ' (x) = 3x²+2⋅5x+1+0 = 3x²+10x+1

उदाहरण # 2

f (x) = sin(3x²)

साखळी नियम लागू करताना:

f ' (x) = cos(3x²) ⋅ [3x²]' = cos(3x²) ⋅ 6x

दुसरी व्युत्पन्न चाचणी

जेव्हा फंक्शनचे पहिले व्युत्पन्न बिंदू x ₀ वर शून्य असते .

f '(x₀) = 0

नंतर बिंदू x ₀ , f''(x ₀ ) वरील दुसरा व्युत्पन्न त्या बिंदूचा प्रकार दर्शवू शकतो:

 

f ''(x0) > 0	स्थानिक किमान
f ''(x0) < 0	स्थानिक कमाल
f ''(x0) = 0	अनिश्चित

 

---

हे देखील पहा

• कॅल्क्युलस
• लॅपेस ट्रान्सफॉर्म ( ℒ  )
• कॅल्क्युलस चिन्हे