Laplace ट्रान्सफॉर्म

लॅप्लेस ट्रान्सफॉर्म फंक्शन
लॅपेस ट्रान्सफॉर्म टेबल
लॅप्लेस ट्रान्सफॉर्म गुणधर्म
लॅप्लेस ट्रान्सफॉर्म उदाहरणे

लॅप्लेस ट्रान्सफॉर्म टाइम डोमेन फंक्शनला s-डोमेन फंक्शनमध्ये शून्य ते अनंतात एकत्रीकरण करून रूपांतरित करते

वेळ डोमेन फंक्शन, e ^-st ने गुणाकार केला.

लॅप्लेस ट्रान्सफॉर्मचा वापर विभेदक समीकरणे आणि अविभाज्यांसाठी त्वरीत उपाय शोधण्यासाठी केला जातो.

टाइम डोमेनमधील व्युत्पत्तीचे s-डोमेनमधील s ने गुणाकारात रूपांतर होते.

टाइम डोमेनमधील एकत्रीकरणाचे s-डोमेनमधील s द्वारे विभाजनात रूपांतर होते.

लॅप्लेस ट्रान्सफॉर्म फंक्शन

Laplace ट्रान्सफॉर्म L {} ऑपरेटरसह परिभाषित केले आहे:

$F(s)=\mathcal{L}\left \{ f(t)\right \}=\int_{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt$

इन्व्हर्स लॅपेस ट्रान्सफॉर्म

व्यस्त लॅपेस ट्रान्सफॉर्मची थेट गणना केली जाऊ शकते.

सामान्यतः ट्रान्सफॉर्म टेबलमधून व्यस्त ट्रान्सफॉर्म दिले जाते.

लॅपेस ट्रान्सफॉर्म टेबल

फंक्शनचे नाव	वेळ डोमेन कार्य	Laplace परिवर्तन
फंक्शनचे नाव	f (t)	F(s) = L{f (t)}
स्थिर	१	$\frac{1}{s}$
रेखीय	ट	$\frac{1}{s^2}$
शक्ती	tⁿ	$\frac{n!}{s^{n+1}}$
शक्ती	t^a	Γ(a+1) ⋅ s ^-(a+1)
घातांक	e^at	$\frac{1}{sa}$
साइन	sin at	$फ्रॅक{a}{s^2+a^2}$
कोसाइन	cos at	$\frac{s}{s^2+a^2}$
हायपरबोलिक साइन	sinh at	$frac{a}{s^2-a^2}$
हायपरबोलिक कोसाइन	cosh at	$frac{s}{s^2-a^2}$
वाढणारी साइन	t sin at	$frac{2as}{(s^2+a^2)^2}$
वाढणारी कोसाइन	t cos at	$frac{s^2-a^2}{(s^2+a^2)^2}$
क्षय होणारी सायन	e^-atsin ωt	$\frac{\omega }{\left ( s+a \right )^2+\omega ^2}$
क्षय कोसाइन	e^-atcos ωt	$\frac{s+a }{\left ( s+a \right )^2+\omega ^2}$
डेल्टा फंक्शन	δ(t)	1
विलंबित डेल्टा	δ(t-a)	e^-as

लॅप्लेस ट्रान्सफॉर्म गुणधर्म

मालमत्तेचे नाव	वेळ डोमेन कार्य	Laplace परिवर्तन	टिप्पणी
	f (t)	F(s)
रेखीयता	af ( t ) + bg ( t )	aF ( s ) + bG ( s )	a , b स्थिर आहेत
स्केल बदल	f ( येथे )	$\frac{1}{a}F\left ( \frac{s}{a} \right )$	a >0
शिफ्ट	e ^-at f ( t )	F ( s + a )
विलंब	f ( ta )	e ^-F ( s )^{म्हणून}
व्युत्पत्ती	$\frac{df(t)}{dt}$	sF ( s ) - f (0)
N-th व्युत्पत्ती	$\frac{d^nf(t)}{dt^n}$	s ⁿ f ( s ) - s ^{n -1}f (0) - s ^{n -2}f '(0)-...- f ^{( n -1)} (0)
शक्ती	t ⁿ f ( t )	$(-1)^n\frac{d^nF(s)}{ds^n}$
एकत्रीकरण	$\int_{0}^{t}f(x)dx$	$\frac{1}{s}F(s)$
परस्पर	$frac{1}{t}f(t)$	$\int_{s}^{\infty }F(x)dx$
कोन्व्होल्युशन	f ( t ) * g ( t )	F ( s ) ⋅ G ( s )	* कन्व्होल्यूशन ऑपरेटर आहे
नियतकालिक कार्य	f ( t ) = f ( t + T )	$\frac{1}{1-e^{-sT}}\int_{0}^{T}e^{-sx}f(x)dx$

लॅप्लेस ट्रान्सफॉर्म उदाहरणे

उदाहरण #1

f(t) चे रूपांतर शोधा:

f (t) = 3t + 2t²

उपाय:

ℒ{t} = 1/s²

ℒ{t²} = 2/s³

F(s) = ℒ{f (t)} = ℒ{3t + 2t²} = 3ℒ{t} + 2ℒ{t²} = 3/s² + 4/s³

उदाहरण # 2

F(s) चे व्यस्त रूपांतर शोधा:

F(s) = 3 / (s² + s - 6)

उपाय:

इनव्हर्स ट्रान्सफॉर्म शोधण्यासाठी, आम्हाला s डोमेन फंक्शन एका सोप्या फॉर्ममध्ये बदलणे आवश्यक आहे:

F(s) = 3 / (s² + s - 6) = 3 / [(s-2)(s+3)] = a / (s-2) + b / (s+3)

[a(s+3) + b(s-2)] / [(s-2)(s+3)] = 3 / [(s-2)(s+3)]

a(s+3) + b(s-2) = 3

a आणि b शोधण्यासाठी, आम्हाला 2 समीकरणे मिळतात - एक s गुणांक आणि दुसरे बाकीचे:

(a+b)s + 3a-2b = 3

a+b = 0 , 3a-2b = 3

a = 3/5 , b = -3/5

F(s) = 3 / 5(s-2) - 3 / 5(s+3)

आता एक्सपोनंट फंक्शनसाठी ट्रान्सफॉर्म टेबल वापरून F(चे) सहज रूपांतरित केले जाऊ शकते:

f (t) = (3/5)e^2t - (3/5)e^-3t