Integrāls

Integrācija ir atvasināšanas apgrieztā darbība.

Funkcijas integrālis ir apgabals zem funkcijas grafika.

Nenoteikta integrāla definīcija

Kad dF(x)/dx = f(x) => integrālis(f(x)*dx) = F(x) + c

Nenoteiktas integrālās īpašības

integrālis(f(x)+g(x))*dx = integrālis(f(x)*dx) + integrālis(g(x)*dx)

integrālis(a*f(x)*dx) = a*integrālis(f(x)*dx)

integrālis(f(a*x)*dx) = 1/a * F(a*x)+c

integrālis(f(x+b)*dx) = F(x+b)+c

integrālis(f(a*x+b)*dx) = 1/a * F(a*x+b) + c

integrālis(df(x)/dx * dx) = f(x)

Integrācijas mainīgā maiņa

Kad unx = g(t)dx = g'(t)*dt

integrālis(f(x)*dx) = integrālis(f(g(t))*g'(t)*dt)

Integrācija pa daļām

integrālis(f(x)*g'(x)*dx) = f(x)*g(x) — integrālis(f'(x)*g(x)*dx)

Integrāļu tabula

integrālis(f(x)*dx = F(x) + c

integrālis(a*dx) = a*x+c

integrālis(x^n*dx) = 1/(a+1) * x^(a+1) + c , kad a<>-1

integrālis(1/x*dx) = ln(abs(x)) + c

integrālis(e^x*dx) = e^x + c

integrālis(a^x*dx) = a^x / ln(x) + c

integrālis(ln(x)*dx) = x*ln(x) - x + c

integrālis(sin(x)*dx) = -cos(x) + c

integrālis(cos(x)*dx) = sin(x) + c

integrāls(tan(x)*dx) = -ln(abs(cos(x))) + c

integrālis(arcsin(x)*dx) = x*arcsin(x) + sqrt(1-x^2) + c

integrālis(arccos(x)*dx) = x*arccos(x) - sqrt(1-x^2) + c

integrālis(arktāns(x)*dx) = x*arktāns(x) - 1/2*ln(1+x^2) + c

integrālis(dx/(ax+b)) = 1/a*ln(abs(a*x+b)) + c

integrāls(1/sqrt(a^2-x^2)*dx) = arcsin(x/a) + c

integrāls(1/sqrt(x^2 +- a^2)*dx) = ln(abs(x + sqrt(x^2 +- a^2)) + c

integrālis(x*sqrt(x^2-a^2)*dx) = 1/(a*arccos(x/a)) + c

integrāls(1/(a^2+x^2)*dx) = 1/a*arctan(x/a) + c

integrāls(1/(a^2-x^2)*dx) = 1/2a*ln(abs(((a+x)/(ax))) + c

integrālis(sinh(x)*dx) = cosh(x) + c

integrālis(cosh(x)*dx) = sinh(x) + c

integrālis(tanh(x)*dx) = ln(cosh(x)) + c

 

Noteikta integrāļa definīcija

integrālis(a..b, f(x)*dx) = lim(n->inf, summa(i=1..n, f(z(i))*dx(i)))  

Kadx0=a, xn=b

dx(k) = x(k) - x(k-1)

x(k-1) <= z(k) <=x(k)

Noteikta integrāļa aprēķins

Kad ,

 dF(x)/dx = f(x)  un

integrālis(a..b, f(x)*dx) = F(b) - F(a)  

Noteiktas integrālās īpašības

integrālis(a..b, (f(x)+g(x))*dx) = integrālis(a..b, f(x)*dx) + integrālis(a..b, g(x)*dx )

integrālis(a..b, c*f(x)*dx) = c*integrālis(a..b, f(x)*dx)

integrālis(a..b, f(x)*dx) = - integrālis(b..a, f(x)*dx)

integrālis(a..b, f(x)*dx) = integrālis(a..c, f(x)*dx) + integrālis(c..b, f(x)*dx)

abs(integrālis(a..b, f(x)*dx) ) <= integrāls(a..b, abs(f(x))*dx)

min(f(x))*(ba) <= integrālis(a..b, f(x)*dx) <= max(f(x))*(ba) kadx [a,b] dalībnieks

Integrācijas mainīgā maiņa

Kad , , ,x = g(t)dx = g'(t)*dtg(alfa) = ag(beta) = b

integrālis(a..b, f(x)*dx) = integrālis(alfa..beta, f(g(t))*g'(t)*dt)

Integrācija pa daļām

integrālis(a..b, f(x)*g'(x)*dx) = integrālis(a..b, f(x)*g(x)*dx) - integrālis(a..b, f' (x)*g(x)*dx)

Vidējās vērtības teorēma

Kadf (x ) ir nepārtraukts, ir punkts so c ir [a,b] dalībnieks

integrālis(a..b, f(x)*dx) = f(c)*(ba)   

Noteiktā integrāļa trapecveida aproksimācija

integrālis(a..b, f(x)*dx) ~ (ba)/n * (f(x(0))/2 + f(x(1)) + f(x(2)) +.. .+ f(x(n-1)) + f(x(n))/2)

Gamma funkcija

gamma(x) = integrāls(0..inf, t^(x-1)*e^(-t)*dt

Gamma funkcija ir konverģentax> 0.

Gamma funkcijas īpašības

G(x+1) = xG(x)

G(n+1) = n! , when nis member ofℕ (positive integer).

Beta funkcija

B(x,y) = integrālis(0..1, t^(n-1)*(1-t)^(y-1)*dt

Beta funkcijas un gamma funkcijas attiecības

B(x,y) = Gamma(x)*Gamma(y)/Gamma(x+y)

 

Advertising

 

 

KARKEKĻI
°• CmtoInchesConvert.com •°