Laplasa transformācija

Laplasa transformācijas funkcija
Laplasa transformācijas galds
Laplasa transformācijas īpašības
Laplasa transformācijas piemēri

Laplasa transformācija pārvērš laika domēna funkciju par s-domēna funkciju, integrējot no nulles uz bezgalību

no laika domēna funkcijas, reizināts ar e ^-st .

Laplasa transformāciju izmanto, lai ātri atrastu diferenciālvienādojumu un integrāļu risinājumus.

Atvasināšana laika domēnā tiek pārveidota par reizināšanu ar s s domēnā.

Integrācija laika domēnā tiek pārveidota par dalīšanu ar s s domēnā.

Laplasa transformācijas funkcija

Laplasa transformācija tiek definēta ar operatoru L {}:

$F(s)=\mathcal{L}\left \{ f(t)\right \}=\int_{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt$

Apgrieztā Laplasa transformācija

Apgriezto Laplasa transformāciju var aprēķināt tieši.

Parasti apgrieztā transformācija tiek dota no transformāciju tabulas.

Laplasa transformācijas galds

Funkcijas nosaukums	Laika domēna funkcija	Laplasa transformācija
Funkcijas nosaukums	f (t)	F(s) = L{f (t)}
Pastāvīgi	1	$\frac{1}{s}$
Lineārs	t	$\frac{1}{s^2}$
Jauda	tⁿ	$\frac{n!}{s^{n+1}}$
Jauda	t^a	Γ(a+1) ⋅ s ^-(a+1)
Eksponents	e^at	$\frac{1}{sa}$
Sine	sin at	$\frac{a}{s^2+a^2}$
Kosinuss	cos at	$\frac{s}{s^2+a^2}$
Hiperboliskais sinuss	sinh at	$\frac{a}{s^2-a^2}$
Hiperboliskais kosinuss	cosh at	$\frac{s}{s^2-a^2}$
Augošs sinuss	t sin at	$\frac{2as}{(s^2+a^2)^2}$
Augošs kosinuss	t cos at	$\frac{s^2-a^2}{(s^2+a^2)^2}$
Pūšanas sinuss	e^-atsin ωt	$\frac{\omega }{\left ( s+a \right )^2+\omega ^2}$
Dūdošs kosinuss	e^-atcos ωt	$\frac{s+a }{\left ( s+a \right )^2+\omega ^2}$
Delta funkcija	δ(t)	1
Aizkavēta delta	δ(t-a)	e^-as

Laplasa transformācijas īpašības

Īpašuma nosaukums	Laika domēna funkcija	Laplasa transformācija	komentēt
	f (t)	F(s)
Linearitāte	af ( t )+ bg ( t )	aF ( s ) + bG ( s )	a , b ir nemainīgas
Mēroga maiņa	f ( at )	$\frac{1}{a}F\left ( \frac{s}{a} \right )$	a >0
Shift	e ^-at f ( t )	F ( s + a )
Kavēšanās	f ( ta )	e ^{- kā} F ( s )
Atvasinājums	$\frac{df(t)}{dt}$	sF ( s ) - f (0)
N-tais atvasinājums	$\frac{d^nf(t)}{dt^n}$	s ⁿ f ( s ) - s ^{n -1}f (0) - s ^{n -2}f '(0) -...- f ^{( n -1)} (0)
Jauda	t ⁿ f ( t )	$(-1)^n\frac{d^nF(s)}{ds^n}$
Integrācija	$\int_{0}^{t}f(x)dx$	$\frac{1}{s}F(s)$
Savstarpēji	$\frac{1}{t}f(t)$	$\int_{s}^{\infty }F(x)dx$
Konvolūcija	f ( t ) * g ( t )	F ( s ) ⋅ G ( s )	* ir konvolūcijas operators
Periodiska funkcija	f ( t ) = f ( t + T )	$\frac{1}{1-e^{-sT}}\int_{0}^{T}e^{-sx}f(x)dx$

Laplasa transformācijas piemēri

1. piemērs

Atrodiet f(t) transformāciju:

f (t) = 3t + 2t²

Risinājums:

ℒ{t} = 1/s²

ℒ{t²} = 2/s³

F(s) = ℒ{f (t)} = ℒ{3t + 2t²} = 3ℒ{t} + 2ℒ{t²} = 3/s² + 4/s³

2. piemērs

Atrodiet F(s) apgriezto transformāciju:

F(s) = 3 / (s² + s - 6)

Risinājums:

Lai atrastu apgriezto transformāciju, mums jāmaina s domēna funkcija uz vienkāršāku formu:

F(s) = 3 / (s² + s - 6) = 3 / [(s-2)(s+3)] = a / (s-2) + b / (s+3)

[a(s+3) + b(s-2)] / [(s-2)(s+3)] = 3 / [(s-2)(s+3)]

a(s+3) + b(s-2) = 3

Lai atrastu a un b, mēs iegūstam 2 vienādojumus - vienu no s koeficientiem un otro no pārējiem:

(a+b)s + 3a-2b = 3

a+b = 0 , 3a-2b = 3

a = 3/5 , b = -3/5

F(s) = 3 / 5(s-2) - 3 / 5(s+3)

Tagad F(s) var viegli pārveidot, izmantojot eksponenta funkcijai transformāciju tabulu:

f (t) = (3/5)e^2t - (3/5)e^-3t