Atvasinātie noteikumi

Atvasinātie noteikumi un likumi.Funkciju tabulas atvasinājumi.

Atvasinātā definīcija

Funkcijas atvasinājums ir funkcijas vērtības f(x) starpības attiecība punktos x+Δx un x ar Δx, kad Δx ir bezgalīgi mazs.Atvasinājums ir funkcijas slīpums vai pieskares līnijas slīpums punktā x.

 

f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

Otrais atvasinājums

Otro atvasinājumu dod:

Vai vienkārši atvasiniet pirmo atvasinājumu:

f''(x)=(f'(x))'

N-tais atvasinājums

N -to atvasinājumu aprēķina, atvasinot f(x) n reizes.

N -tais atvasinājums ir vienāds ar (n-1) atvasinājuma atvasinājumu:

f (n)(x) = [f (n-1)(x)]'

Piemērs:

Atrodiet ceturto atvasinājumu no

f ( x ) = 2 x 5

f (4) ( x ) = [2 x 5 ]'''' = [10 x 4 ]'''' = [40 x 3 ]'' = [120 x 2 ]' = 240 x

Funkcijas grafika atvasinājums

Funkcijas atvasinājums ir tangenciālās līnijas slīpums.

Atvasinātie noteikumi

Atvasinātās summas noteikums

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)
Atvasināto produktu noteikums

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)
Atvasinātā koeficienta noteikums \left ( \frac{f(x)}{g(x)} \right )'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2( x)}
Atvasinātās ķēdes noteikums

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

Atvasinātās summas noteikums

Kad a un b ir konstantes.

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)

Piemērs:

Atrodiet atvasinājumu no:

3 x 2 + 4 x.

Saskaņā ar summas likumu:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x 2 , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x 2 + 4 x )' = 3⋅2 x +4⋅1 = 6 x + 4

Atvasināto produktu noteikums

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)

Atvasinātā koeficienta noteikums

\left ( \frac{f(x)}{g(x)} \right )'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}

Atvasinātās ķēdes noteikums

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

Šo noteikumu var labāk saprast ar Lagranža apzīmējumu:

\frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\cdot \frac{dg}{dx}

Funkcijas lineārā tuvināšana

Mazam Δx mēs varam iegūt tuvinājumu f(x 0 + Δx), ja zinām f(x 0 ) un f ' (x 0 ):

f (x0+Δx) ≈ f (x0) + f '(x0)⋅Δx

Funkciju tabulas atvasinājumi

Funkcijas nosaukums Funkcija Atvasinājums

f (x)

 f '( x )
Pastāvīgi

const

0
Lineārs

x

1
Jauda

x a

a x a-1
Eksponenciāls

e x

e x
Eksponenciāls

a x

a x ln a
Dabiskais logaritms

ln(x)

Logaritms

logb(x)

Sine

sin x

cos x
Kosinuss

cos x

-sin x
Pieskares

tan x

Arcsine

arcsin x

Arkosīns

arccos x

Arktangents

arctan x
Hiperboliskais sinuss

sinh x

cosh x
Hiperboliskais kosinuss

cosh x

sinh x
Hiperboliskais tangenss

tanh x

Apgrieztais hiperboliskais sinuss

sinh-1 x

Apgrieztais hiperboliskais kosinuss

cosh-1 x

Apgrieztā hiperboliskā tangenss

tanh-1 x

Atvasinātie piemēri

1. piemērs

f (x) = x3+5x2+x+8

f ' (x) = 3x2+2⋅5x+1+0 = 3x2+10x+1

2. piemērs

f (x) = sin(3x2)

Piemērojot ķēdes noteikumu:

f ' (x) = cos(3x2) ⋅ [3x2]' = cos(3x2) ⋅ 6x

Otrais atvasinājuma tests

Kad funkcijas pirmais atvasinājums ir nulle punktā x 0 .

f '(x0) = 0

Tad otrais atvasinājums punktā x 0 , f''(x 0 ), var norādīt šī punkta veidu:

 

f ''(x0) > 0

 vietējais minimums

f ''(x0) < 0

 vietējais maksimums

f ''(x0) = 0

 nenoteikts

 

Skatīt arī

Advertising

KARKEKĻI
°• CmtoInchesConvert.com •°