대수 규칙

숫자 의 밑수 b 로그 는 숫자를 얻기 위해밑수 를 올려야 하는 지수 입니다.

• 대수 정의
• 대수 규칙
• 대수 문제
• 복소수 로그
• log(x)의 그래프
• 대수표
• 대수 계산기

대수 정의

b를 y의 거듭제곱으로 올리면 x와 같습니다.

b ^y = x

그러면 x의 밑수 b 로그는 y와 같습니다.

log_b(x) = y

예를 들면:

2⁴ = 16

그 다음에

log₂(16) = 4

지수 함수의 역함수로서의 로그

대수 함수,

y = log_b(x)

지수 함수의 역함수,

x = b^y

따라서 x의 로그의 지수 함수를 계산하면(x>0),

f (f ^-1(x)) = b^logb^(x) = x

또는 x의 지수 함수의 로그를 계산하면,

f ^-1(f (x)) = log_b(b^x) = x

자연로그(ln)

자연 로그 는 밑이 e인 로그입니다:

ln(x) = log_e(x)

e 상수 가 숫자 일때 :

또는

 

참조: 자연 로그

역대수 계산

역로그(또는 역로그)는 밑수 b를 로그 y로 올림으로써 계산됩니다.

x = log^-1(y) = b ^y

대수 함수

대수 함수의 기본 형식은 다음과 같습니다.

f (x) = log_b(x)

대수 규칙

규칙 이름	규칙
대수 곱 규칙	로그 b ( x ∙ y ) = 로그 b ( x ) + 로그 b ( y )
대수 몫 규칙	로그 b ( x / y ) = 로그 b ( x ) - 로그 b ( y )
대수 거듭제곱 법칙	로그 b ( x y ) = y ∙ 로그 b ( x )
대수 기준 전환 규칙	로그 b ( c ) = 1 / 로그 c ( b )
대수 밑수 변경 규칙	로그 b ( x ) = 로그 c ( x ) / 로그 c ( b )
로그의 도함수	f ( x ) = 로그 b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1/( x ln( b ) )
대수의 적분	∫ log b ( x ) dx = x ∙ ( log b ( x ) - 1 / ln( b ) ) + C
음수의 로그	log b ( x ) 는x ≤ 0 일 때 정의되지 않습니다.
0의 대수	log b (0) 가 정의되지 않음
1의 대수	로그 b (1) = 0
밑의 로그	로그 b ( b ) = 1
무한대의 로그	lim log b ( x ) = ∞, x →∞ 인 경우

참조: 대수 규칙

 

대수 곱 규칙

x와 y의 곱셈의 로그는 x의 로그와 y의 로그의 합입니다.

log_b(x ∙ y) = log_b(x) + log_b(y)

예를 들어:

log₁₀(3 ∙ 7) = log₁₀(3) + log₁₀(7)

대수 몫 규칙

x와 y의 나눗셈의 로그는 x의 로그와 y의 로그의 차이입니다.

log_b(x / y) = log_b(x) - log_b(y)

예를 들어:

log₁₀(3 / 7) = log₁₀(3) - log₁₀(7)

대수 거듭제곱 법칙

x의 y승 로그는 x의 로그에 y를 곱한 것입니다.

log_b(x ^y) = y ∙ log_b(x)

예를 들어:

log₁₀(2⁸) = 8∙ log₁₀(2)

대수 기준 전환 규칙

c의 밑 b 로그는 1을 b의 밑 c 로그로 나눈 값입니다.

log_b(c) = 1 / log_c(b)

예를 들어:

log₂(8) = 1 / log₈(2)

대수 밑수 변경 규칙

x의 밑 b 로그는 x의 밑 c 로그를 b의 밑 c 로그로 나눈 것입니다.

log_b(x) = log_c(x) / log_c(b)

예를 들어 계산기에서 log ₂ (8)를 계산하려면 밑을 10으로 변경해야 합니다.

log₂(8) = log₁₀(8) / log₁₀(2)

참조: 로그 기준 변경 규칙

음수의 로그

x<=0일 때 x의 밑수 b 실수 로그는 x가 음수이거나 0일 때 정의되지 않습니다:

log_b(x) is undefined when x ≤ 0

참조: 음수의 로그

0의 대수

0의 밑수 b 로그는 정의되지 않습니다.

log_b(0) is undefined

x가 0에 접근할 때 x의 밑 b 로그의 극한은 마이너스 무한대입니다:

참조: 0의 로그

1의 대수

1의 밑수 b 로그는 0입니다:

log_b(1) = 0

예를 들어, 1의 밑이 2인 로그는 0입니다:

log₂(1) = 0

참조: 1의 로그

무한대의 로그

x가 무한대에 접근할 때 x의 밑 b 로그의 극한은 무한대와 같습니다:

lim log_b(x) = ∞, when x→∞

참조: 무한대의 로그

밑의 로그

b의 밑수 b 로그는 1입니다:

log_b(b) = 1

예를 들어, 2의 밑이 2인 로그는 1입니다:

log₂(2) = 1

대수 미분

언제

f (x) = log_b(x)

그런 다음 f(x)의 미분:

f ' (x) = 1 / ( x ln(b) )

참조: 로그 미분

로그 적분

x의 로그 적분:

∫ log_b(x) dx = x ∙ ( log_b(x) - 1 / ln(b) ) + C

예를 들어:

∫ log₂(x) dx = x ∙ ( log₂(x) - 1 / ln(2) ) + C

대수 근사

log₂(x) ≈ n + (x/2ⁿ - 1) ,

복소수 로그

복소수 z의 경우:

z = re^iθ = x + iy

복소수 로그는 (n = ...-2,-1,0,1,2,...)입니다.

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x²+y²)) + i·arctan(y/x))

로그 문제 및 답

문제 #1

x 찾기

log₂(x) + log₂(x-3) = 2

해결책:

제품 규칙 사용:

log₂(x∙(x-3)) = 2

로그 정의에 따라 로그 형식 변경:

x∙(x-3) = 2²

또는

x²-3x-4 = 0

이차방정식 풀기:

x_1,2 = [3±√(9+16) ] / 2 = [3±5] / 2 = 4,-1

음수에 대해서는 로그가 정의되어 있지 않으므로 답은 다음과 같습니다.

x = 4

문제 #2

x 찾기

log₃(x+2) - log₃(x) = 2

해결책:

몫 규칙 사용:

log₃((x+2) / x) = 2

로그 정의에 따라 로그 형식 변경:

(x+2)/x = 3²

또는

x+2 = 9x

또는

8x = 2

또는

x = 0.25

log(x)의 그래프

log(x)는 x의 양수가 아닌 실제 값에 대해 정의되지 않습니다.

로그 테이블

엑스	로그 10x _	로그 2x _	로그 e x
0	한정되지 않은	한정되지 않은	한정되지 않은
0 +	- ∞	- ∞	- ∞
0.0001	-4	-13.287712	-9.210340
0.001	-삼	-9.965784	-6.907755
0.01	-2	-6.643856	-4.605170
0.1	-1	-3.321928	-2.302585
1	0	0	0
2	0.301030	1	0.693147
삼	0.477121	1.584963	1.098612
4	0.602060	2	1.386294
5	0.698970	2.321928	1.609438
6	0.778151	2.584963	1.791759
7	0.845098	2.807355	1.945910
8	0.903090	삼	2.079442
9	0.954243	3.169925	2.197225
10	1	3.321928	2.302585
20	1.301030	4.321928	2.995732
30	1.477121	4.906891	3.401197
40	1.602060	5.321928	3.688879
50	1.698970	5.643856	3.912023
60	1.778151	5.906991	4.094345
70	1.845098	6.129283	4.248495
80	1.903090	6.321928	4.382027
90	1.954243	6.491853	4.499810
100	2	6.643856	4.605170
200	2.301030	7.643856	5.298317
300	2.477121	8.228819	5.703782
400	2.602060	8.643856	5.991465
500	2.698970	8.965784	6.214608
600	2.778151	9.228819	6.396930
700	2.845098	9.451211	6.551080
800	2.903090	9.643856	6.684612
900	2.954243	9.813781	6.802395
1000	삼	9.965784	6.907755
10000	4	13.287712	9.210340

 

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