積分

積分は導出の逆の操作です。

関数の積分は、関数のグラフの下の領域です。

不定積分の定義

いつ dF(x)/dx = f(x) => 積分(f(x)*dx) = F(x) + c

不定積分特性

積分(f(x)+g(x))*dx = 積分(f(x)*dx) + 積分(g(x)*dx)

積分(a*f(x)*dx) = a*積分(f(x)*dx)

積分(f(a*x)*dx) = 1/a * F(a*x)+c

積分(f(x+b)*dx) = F(x+b)+c

積分(f(a*x+b)*dx) = 1/a * F(a*x+b) + c

積分(df(x)/dx * dx) = f(x)

積分変数の変更

いつ 、x = g(t)dx = g'(t)*dt

積分(f(x)*dx) = 積分(f(g(t))*g'(t)*dt)

パーツごとの統合

積分(f(x)*g'(x)*dx) = f(x)*g(x) - 積分(f'(x)*g(x)*dx)

積分表

積分(f(x)*dx = F(x) + c

積分(a*dx) = a*x+c

積分(x^n*dx) = 1/(a+1) * x^(a+1) + c 、a<>-1の場合

積分(1/x*dx) = ln(abs(x)) + c

積分(e^x*dx) = e^x + c

積分(a^x*dx) = a^x / ln(x) + c

積分(ln(x)*dx) = x*ln(x) - x + c

積分(sin(x)*dx) = -cos(x) + c

積分(cos(x)*dx) = sin(x) + c

積分(tan(x)*dx) = -ln(abs(cos(x))) + c

積分(arcsin(x)*dx) = x*arcsin(x) + sqrt(1-x^2) + c

積分(arccos(x)*dx) = x*arccos(x) - sqrt(1-x^2) + c

積分(arctan(x)*dx) = x*arctan(x) - 1/2*ln(1+x^2) + c

積分(dx/(ax+b)) = 1/a*ln(abs(a*x+b)) + c

積分(1/sqrt(a^2-x^2)*dx) = arcsin(x/a) + c

積分(1/sqrt(x^2 +- a^2)*dx) = ln(abs(x + sqrt(x^2 +- a^2)) + c

積分(x*sqrt(x^2-a^2)*dx) = 1/(a*arccos(x/a)) + c

積分 (1/(a^2+x^2)*dx) = 1/a*arctan(x/a) + c

積分(1/(a^2-x^2)*dx) = 1/2a*ln(abs(((a+x)/(ax))) + c

積分(sinh(x)*dx) = cosh(x) + c

積分(cosh(x)*dx) = sinh(x) + c

積分(tanh(x)*dx) = ln(cosh(x)) + c

 

定積分の定義

積分(a..b, f(x)*dx) = lim(n->inf, sum(i=1..n, f(z(i))*dx(i)))  

いつx0=a、xn=b

dx(k) = x(k) - x(k-1)

x(k-1) <= z(k) <=x(k)

定積分計算

とき 、

 dF(x)/dx = f(x)  と

積分(a..b, f(x)*dx) = F(b) - F(a)  

定積分特性

積分(a..b, (f(x)+g(x))*dx) = 積分(a..b, f(x)*dx) + 積分(a..b, g(x)*dx )

積分(a..b, c*f(x)*dx) = c*積分(a..b, f(x)*dx)

積分(a..b, f(x)*dx) = - 積分(b..a, f(x)*dx)

積分(a..b, f(x)*dx) = 積分(a..c, f(x)*dx) + 積分(c..b, f(x)*dx)

abs( 積分(a..b, f(x)*dx) ) <= 積分(a..b, abs(f(x))*dx)

min(f(x))*(ba) <= 積分(a..b, f(x)*dx) <= max(f(x))*(ba) いつ[a,b] の x メンバー

積分変数の変更

、、、 _ _ _x = g(t)dx = g'(t)*dtg(アルファ) = ag(ベータ) = b

積分(a..b, f(x)*dx) = 積分(アルファ..ベータ, f(g(t))*g'(t)*dt)

パーツごとの統合

積分(a..b, f(x)*g'(x)*dx) = 積分(a..b, f(x)*g(x)*dx) - 積分(a..b, f' (x)*g(x)*dx)

平均値定理

f (x )が連続するとき 、点がある ので c は [a,b] のメンバーです

積分(a..b, f(x)*dx) = f(c)*(ba)   

定積分の台形近似

積分(a..b, f(x)*dx) ~ (ba)/n * (f(x(0))/2 + f(x(1)) + f(x(2)) +.. .+ f(x(n-1)) + f(x(n))/2)

ガンマ関数

ガンマ(x) = 積分(0..inf, t^(x-1)*e^(-t)*dt

ガンマ関数はx> 0で収束します。

ガンマ関数のプロパティ

G(x+1) = xG(x)

G(n+1) = n! , when nis member ofℕ (positive integer).

ベータ機能

B(x,y) = 積分(0..1, t^(n-1)*(1-t)^(y-1)*dt

ベータ関数とガンマ関数の関係

B(x,y) = ガンマ(x)*ガンマ(y)/ガンマ(x+y)

 

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微積分
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