導関数の規則
派生的な規則と法律。関数テーブルの導関数。
導関数の定義
関数の導関数は、Δx が無限に小さい場合、点 x+Δx および x での関数値 f(x) と Δx の差の比率です。導関数は、点 x での接線の勾配または勾配の関数です。
二次導関数
二次導関数は次の式で与えられます。
または、単純に一次導関数を導出します。
N次導関数
n次導関数は、f(x) を n 回導出することによって計算されます。
n次導関数は、(n-1) 導関数の導関数に等しくなります。
f (n)(x) = [f (n-1)(x)]'
例：
の 4 次導関数を求めます。
f ( x ) = 2 x 5
f (4) ( x ) = [2 x 5 ]'''' = [10 x 4 ]''' = [40 x 3 ]'' = [120 x 2 ]' = 240 x
関数グラフの導関数
関数の導関数は、接線の傾きです。
導関数の規則
| 導関数の和の法則 |
( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x) |
| 派生商品ルール |
( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x) |
| 微分商則 |
 |
| 派生連鎖ルール |
f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x) |
導関数の和の法則
aとbが定数の場合。
( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)
例：
次の導関数を求めます。
3 × 2 +4 ×。
合計ルールによると：
a = 3、b = 4
f ( x ) = x 2、 g ( x ) = x
f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1
(3 × 2 +4 × )'= 3×2 × +4× 1=6 × +4
派生商品ルール
( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)
微分商則
派生連鎖ルール
f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)
この規則は、ラグランジュの表記法でよりよく理解できます。
関数線形近似
Δx が小さい場合、f(x 0 ) と f ' (x0 )が分かれば、f(x 0 +Δx)の近似値を得ることができます。
f (x0+Δx) ≈ f (x0) + f '(x0)⋅Δx
関数表の導関数
| 関数名 | 関数 | デリバティブ |
|---|---|---|
|
f (x) |
f '( x ) | |
| 絶え間ない |
const |
0 |
| 線形 |
x |
1 |
| 力 |
x a |
a x a-1 |
| 指数関数的 |
e x |
e x |
| 指数関数的 |
a x |
a x ln a |
| 自然対数 |
ln(x) |
|
| 対数 |
logb(x) |
|
| 正弦 |
sin x |
cos x |
| 余弦 |
cos x |
-sin x |
| 正接 |
tan x |
|
| アークサイン |
arcsin x |
|
| 逆余弦 |
arccos x |
|
| アークタンジェント |
arctan x |
 |
| 双曲線正弦 |
sinh x |
cosh x |
| 双曲線余弦 |
cosh x |
sinh x |
| 双曲線正接 |
tanh x |
|
| 逆双曲線正弦 |
sinh-1 x |
|
| 逆双曲線余弦 |
cosh-1 x |
|
| 逆双曲線正接 |
tanh-1 x |
|
派生例
例 #1
f (x) = x3+5x2+x+8
f ' (x) = 3x2+2⋅5x+1+0 = 3x2+10x+1
例 #2
f (x) = sin(3x2)
チェーン ルールを適用する場合:
f ' (x) = cos(3x2) ⋅ [3x2]' = cos(3x2) ⋅ 6x
二次導関数検定
関数の一次導関数が点 x 0でゼロの場合。
f '(x0) = 0
次に、点 x 0での 2 次導関数f''(x 0 ) は、その点のタイプを示すことができます。
|
f ''(x0) > 0 |
極小値 |
|
f ''(x0) < 0 |
極大値 |
|
f ''(x0) = 0 |
未定 |