ラプラス変換

ラプラス変換関数
ラプラス変換表
ラプラス変換のプロパティ
ラプラス変換の例

ラプラス変換は、ゼロから無限大まで積分することにより、時間ドメイン関数を s ドメイン関数に変換します

時間領域関数のe ^-st を掛けたもの。

ラプラス変換は、微分方程式と積分の解をすばやく見つけるために使用されます。

時間領域での微分は、s 領域での s による乗算に変換されます。

時間領域での積分は、s 領域での s による除算に変換されます。

ラプラス変換関数

ラプラス変換はL {} 演算子で定義されます。

$F(s)=\mathcal{L}\left \{ f(t)\right \}=\int_{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt$

逆ラプラス変換

逆ラプラス変換は直接計算できます。

通常、逆変換は変換テーブルから与えられます。

ラプラス変換表

関数名	タイムドメイン機能	ラプラス変換
関数名	f (t)	F(s) = L{f (t)}
絶え間ない	1	$\frac{1}{s}$
線形	t	$\frac{1}{s^2}$
力	tⁿ	$\frac{n!}{s^{n+1}}$
力	t^a	Γ(a+1) ⋅ s ^-(a+1)
指数	e^at	$\frac{1}{sa}$
正弦	sin at	$\frac{a}{s^2+a^2}$
余弦	cos at	$\frac{s}{s^2+a^2}$
双曲線正弦	sinh at	$\frac{a}{s^2-a^2}$
双曲線余弦	cosh at	$\frac{s}{s^2-a^2}$
成長正弦	t sin at	$\frac{2as}{(s^2+a^2)^2}$
成長余弦	t cos at	$\frac{s^2-a^2}{(s^2+a^2)^2}$
減衰正弦	e^-atsin ωt	$\frac{\omega}{\left ( s+a \right )^2+\omega ^2}$
減衰余弦	e^-atcos ωt	$\frac{s+a }{\left ( s+a \right )^2+\omega ^2}$
デルタ関数	δ(t)	1
遅延デルタ	δ(t-a)	e^-as

ラプラス変換のプロパティ

プロパティ名	タイムドメイン機能	ラプラス変換	コメント
	f (t)	F(s)
直線性	af ( t ) + bg ( t )	aF (秒) + bG (秒)	a、bは一定です
スケール変更	f (で)	$\frac{1}{a}F\left ( \frac{s}{a} \right )$	a >0
シフト	e ^-at f ( t )	F ( s + a )
遅れ	f (タ)	e ^{- as} F ( s )
導出	$\frac{df(t)}{dt}$	sF ( s ) - f (0)
N次導関数	$\frac{d^nf(t)}{dt^n}$	s ⁿ f ( s ) - s ^{n -1}f (0) - s ^{n -2}f '(0)-...- f ^{( n -1)} (0)
力	t ⁿ f ( t )	$(-1)^n\frac{d^nF(s)}{ds^n}$
統合	$\int_{0}^{t}f(x)dx$	$\frac{1}{s}F(s)$
相互	$\frac{1}{t}f(t)$	$\int_{s}^{\infty}F(x)dx$
畳み込み	f ( t ) * g ( t )	F ( s ) ⋅ G ( s )	* は畳み込み演算子です
周期関数	f ( t ) = f ( t + T )	$\frac{1}{1-e^{-sT}}\int_{0}^{T}e^{-sx}f(x)dx$

ラプラス変換の例

例 #1

f(t) の変換を求めます。

f (t) = 3t + 2t²

解決：

ℒ{t} = 1/s²

ℒ{t²} = 2/s³

F(s) = ℒ{f (t)} = ℒ{3t + 2t²} = 3ℒ{t} + 2ℒ{t²} = 3/s² + 4/s³

例 #2

F(s) の逆変換を求めます。

F(s) = 3 / (s² + s - 6)

解決：

逆変換を見つけるには、s ドメイン関数をより単純な形式に変更する必要があります。

F(s) = 3 / (s² + s - 6) = 3 / [(s-2)(s+3)] = a / (s-2) + b / (s+3)

[a(s+3) + b(s-2)] / [(s-2)(s+3)] = 3 / [(s-2)(s+3)]

a(s+3) + b(s-2) = 3

a と b を見つけるために、2 つの方程式を取得します。1 つは s 係数で、2 番目は残りの係数です。

(a+b)s + 3a-2b = 3

a+b = 0 , 3a-2b = 3

a = 3/5 , b = -3/5

F(s) = 3 / 5(s-2) - 3 / 5(s+3)

これで、指数関数の変換テーブルを使用して、F(s) を簡単に変換できます。

f (t) = (3/5)e^2t - (3/5)e^-3t