畳み込み

畳み込みは、f(τ) と逆関数 g(t-τ) の相関関数です。

畳み込み演算子はアスタリスク記号*です。

f(t) と g(t) の畳み込みは、f(τ) と f(t-τ) を掛けた積分に等しくなります。

$f(t)*g(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)g(t-\tau)d\tau$

2 つの離散関数の畳み込みは次のように定義されます。

$f(n)*g(n)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}f(k)\:g(nk)$

通常、画像処理には 2 次元の離散畳み込みが使用されます。

$f(n,m)*g(n,m)=\sum_{j=-\infty}^{\infty}\sum_{k=-\infty}^{\infty}f(j,k)\: g(nj,mk)$

インパルス応答 h(n) との畳み込みによって離散入力信号 x(n) をフィルター処理して、出力信号 y(n) を取得できます。

y(n) = x(n) * h(n)

2 つの関数の乗算のフーリエ変換は、各関数のフーリエ変換の畳み込みに等しくなります。

ℱ{f ⋅ g} = ℱ{f } * ℱ{g}

2 つの関数の畳み込みのフーリエ変換は、各関数のフーリエ変換の乗算に等しくなります。

ℱ{f * g} = ℱ{f } ⋅ ℱ{g}

ℱ{f (t) ⋅ g(t)} = ℱ{f (t)} * ℱ{g(t)} = F(ω) * G(ω)

ℱ{f (t) * g(t)} = ℱ{f (t)} ⋅ ℱ{g(t)} = F(ω) ⋅ G(ω)

ℱ{f (n) ⋅ g(n)} = ℱ{f (n)} * ℱ{g(n)} = F(k) * G(k)

ℱ{f (n) * g(n)} = ℱ{f (n)} ⋅ ℱ{g(n)} = F(k) ⋅ G(k)

ℒ{f (t) * g(t)} = ℒ{f (t)} ⋅ ℒ{g(t)} = F(s) ⋅ G(s)

こちらもご覧ください