Integrante

L'integrazione è l'operazione inversa della derivazione.

L'integrale di una funzione è l'area sotto il grafico della funzione.

Definizione di integrale indefinito

Quando dF(x)/dx = f(x) => integrale(f(x)*dx) = F(x) + c

Proprietà integrali indefinite

integrale(f(x)+g(x))*dx = integrale(f(x)*dx) + integrale(g(x)*dx)

integrale(a*f(x)*dx) = a*integrale(f(x)*dx)

integrale(f(a*x)*dx) = 1/a * F(a*x)+c

integrale(f(x+b)*dx) = F(x+b)+c

integrale(f(a*x+b)*dx) = 1/a * F(a*x+b) + c

integrale(df(x)/dx * dx) = f(x)

Modifica della variabile di integrazione

Quando ex = g(t)dx = g'(t)*dt

integrale(f(x)*dx) = integrale(f(g(t))*g'(t)*dt)

Integrazione per parti

integrale(f(x)*g'(x)*dx) = f(x)*g(x) - integrale(f'(x)*g(x)*dx)

Tabella degli integrali

integrale(f(x)*dx = F(x) + c

integrale(a*dx) = a*x+c

integral(x^n*dx) = 1/(a+1) * x^(a+1) + c , quando a<>-1

integrale(1/x*dx) = ln(abs(x)) + c

integrale(e^x*dx) = e^x + c

integrale(a^x*dx) = a^x / ln(x) + c

integrale(ln(x)*dx) = x*ln(x) - x + c

integrale(sin(x)*dx) = -cos(x) + c

integrale(cos(x)*dx) = sin(x) + c

integrale(tan(x)*dx) = -ln(abs(cos(x))) + c

integrale(arcsin(x)*dx) = x*arcsin(x) + sqrt(1-x^2) + c

integrale(arcos(x)*dx) = x*arcos(x) - sqrt(1-x^2) + c

integrale(arctan(x)*dx) = x*arctan(x) - 1/2*ln(1+x^2) + c

integrale(dx/(ax+b)) = 1/a*ln(abs(a*x+b)) + c

integrale(1/sqrt(a^2-x^2)*dx) = arcsin(x/a) + c

integrale(1/sqrt(x^2 +- a^2)*dx) = ln(abs(x + sqrt(x^2 +- a^2)) + c

integrale(x*sqrt(x^2-a^2)*dx) = 1/(a*arcos(x/a)) + c

integrale(1/(a^2+x^2)*dx) = 1/a*arctan(x/a) + c

integrale(1/(a^2-x^2)*dx) = 1/2a*ln(abs(((a+x)/(ax))) + c

integrale(sinh(x)*dx) = cosh(x) + c

integrale(cosh(x)*dx) = sinh(x) + c

integrale(tanh(x)*dx) = ln(cosh(x)) + c

 

Definizione integrale definita

integrale(a..b, f(x)*dx) = lim(n->inf, sum(i=1..n, f(z(i))*dx(i)))  

Quandox0=a, xn=b

dx(k) = x(k) - x(k-1)

x(k-1) <= z(k) <=x(k)

Calcolo integrale definito

Quando ,

 dF(x)/dx = f(x)  E

integrale(a..b, f(x)*dx) = F(b) - F(a)  

Proprietà integrali definite

integrale(a..b, (f(x)+g(x))*dx) = integrale(a..b, f(x)*dx) + integrale(a..b, g(x)*dx )

integrale(a..b, c*f(x)*dx) = c*integrale(a..b, f(x)*dx)

integrale(a..b, f(x)*dx) = - integrale(b..a, f(x)*dx)

integrale(a..b, f(x)*dx) = integrale(a..c, f(x)*dx) + integrale(c..b, f(x)*dx)

abs( integrale(a..b, f(x)*dx) ) <= integrale(a..b, abs(f(x))*dx)

min(f(x))*(ba) <= integrale(a..b, f(x)*dx) <= max(f(x))*(ba) Quandox membro di [a,b]

Modifica della variabile di integrazione

Quando , , ,x = g(t)dx = g'(t)*dtg(alfa) = ag(beta) = b

integrale(a..b, f(x)*dx) = integrale(alfa..beta, f(g(t))*g'(t)*dt)

Integrazione per parti

integrale(a..b, f(x)*g'(x)*dx) = integrale(a..b, f(x)*g(x)*dx) - integrale(a..b, f' (x)*sol(x)*dx)

Teorema della media

Quandof (x ) è continua c'è un punto così c è membro di [a,b]

integrale(a..b, f(x)*dx) = f(c)*(ba)   

Approssimazione trapezoidale di integrale definito

integrale(a..b, f(x)*dx) ~ (ba)/n * (f(x(0))/2 + f(x(1)) + f(x(2)) +.. .+ f(x(n-1)) + f(x(n))/2)

La funzione gamma

gamma(x) = integrale(0..inf, t^(x-1)*e^(-t)*dt

La funzione Gamma è convergente perx> 0.

Proprietà della funzione gamma

G(x+1) = xG(x)

G(n+1) = n! , when nis member ofℕ (positive integer).

La funzione beta

B(x,y) = integrale(0..1, t^(n-1)*(1-t)^(y-1)*dt

Relazione tra funzione beta e funzione gamma

B(x,y) = Gamma(x)*Gamma(y)/Gamma(x+y)

 

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