Trasformata di Laplace

Funzione di trasformata di Laplace
Tavolo trasformabile di Laplace
Proprietà della trasformata di Laplace
Esempi di trasformate di Laplace

La trasformata di Laplace converte una funzione del dominio del tempo in una funzione del dominio s mediante integrazione da zero a infinito

della funzione nel dominio del tempo, moltiplicata per e ^-st .

La trasformata di Laplace viene utilizzata per trovare rapidamente soluzioni per equazioni differenziali e integrali.

La derivazione nel dominio del tempo viene trasformata in moltiplicazione per s nel dominio s.

L'integrazione nel dominio del tempo viene trasformata in divisione per s nel dominio s.

Funzione di trasformata di Laplace

La trasformata di Laplace è definita con l' operatore L {}:

$F(s)=\mathcal{L}\left \{ f(t)\right \}=\int_{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt$

Trasformata inversa di Laplace

La trasformata di Laplace inversa può essere calcolata direttamente.

Di solito la trasformata inversa è data dalla tabella delle trasformazioni.

Tavolo trasformabile di Laplace

Nome della funzione	Funzione nel dominio del tempo	Trasformata di Laplace
Nome della funzione	f (t)	F(s) = L{f (t)}
Costante	1	$\frac{1}{s}$
Lineare	T	$\frac{1}{s^2}$
Energia	tⁿ	$\frac{n!}{s^{n+1}}$
Energia	t^a	Γ(a+1) ⋅ s ^-(a+1)
Esponente	e^at	$\frac{1}{sa}$
Seno	sin at	$\frac{a}{s^2+a^2}$
Coseno	cos at	$\frac{s}{s^2+a^2}$
Seno iperbolico	sinh at	$\frac{a}{s^2-a^2}$
coseno iperbolico	cosh at	$\frac{s}{s^2-a^2}$
Seno in crescita	t sin at	$\frac{2as}{(s^2+a^2)^2}$
Coseno crescente	t cos at	$\frac{s^2-a^2}{(s^2+a^2)^2}$
Seno in decomposizione	e^-atsin ωt	$\frac{\omega }{\sinistra ( s+a \destra )^2+\omega ^2}$
Coseno in decadimento	e^-atcos ωt	$\frac{s+a }{\sinistra ( s+a \destra )^2+\omega ^2}$
Funzione delta	δ(t)	1
Delta ritardato	δ(t-a)	e^-as

Proprietà della trasformata di Laplace

Nome della proprietà	Funzione nel dominio del tempo	Trasformata di Laplace	Commento
	f (t)	F(s)
Linearità	af ( t )+ bg ( t )	aF ( s ) + bG ( s )	a , b sono costanti
Cambio scala	f ( a )	$\frac{1}{a}F\sinistra ( \frac{s}{a} \destra )$	un >0
Spostare	e ^-at f ( t )	FA ( s + a )
Ritardo	f ( ta )	e ^{- come} F ( s )
Derivazione	$\frac{df(t)}{dt}$	sF ( s ) - f (0)
Derivazione N-esima	$\frac{d^nf(t)}{dt^n}$	s ⁿ f ( s ) - s ^{n -1}f (0) - s ^{n -2}f '(0)-...- f ^{( n -1)} (0)
Energia	t ⁿ f ( t )	$(-1)^n\frac{d^nF(s)}{ds^n}$
Integrazione	$\int_{0}^{t}f(x)dx$	$\frac{1}{s}F(i)$
Reciproco	$\frac{1}{t}f(t)$	$\int_{s}^{\infty }F(x)dx$
Convoluzione	f ( t ) * sol ( t )	F ( s ) ⋅ SOL ( s )	* è l'operatore di convoluzione
Funzione periodica	f ( t ) = f ( t + T )	$\frac{1}{1-e^{-sT}}\int_{0}^{T}e^{-sx}f(x)dx$

Esempi di trasformate di Laplace

Esempio 1

Trova la trasformata di f(t):

f (t) = 3t + 2t²

Soluzione:

ℒ{t} = 1/s²

ℒ{t²} = 2/s³

F(s) = ℒ{f (t)} = ℒ{3t + 2t²} = 3ℒ{t} + 2ℒ{t²} = 3/s² + 4/s³

Esempio #2

Trova la trasformata inversa di F(s):

F(s) = 3 / (s² + s - 6)

Soluzione:

Per trovare la trasformata inversa, dobbiamo cambiare la funzione di dominio s in una forma più semplice:

F(s) = 3 / (s² + s - 6) = 3 / [(s-2)(s+3)] = a / (s-2) + b / (s+3)

[a(s+3) + b(s-2)] / [(s-2)(s+3)] = 3 / [(s-2)(s+3)]

a(s+3) + b(s-2) = 3

Per trovare a e b, otteniamo 2 equazioni: uno dei coefficienti s e il secondo degli altri:

(a+b)s + 3a-2b = 3

a+b = 0 , 3a-2b = 3

a = 3/5 , b = -3/5

F(s) = 3 / 5(s-2) - 3 / 5(s+3)

Ora F(s) può essere trasformato facilmente utilizzando la tabella delle trasformazioni per la funzione esponente:

f (t) = (3/5)e^2t - (3/5)e^-3t