Regole derivate

Regole e leggi derivate.Tabella delle derivate delle funzioni.

Definizione derivata

La derivata di una funzione è il rapporto della differenza del valore della funzione f(x) nei punti x+Δx e x con Δx, quando Δx è infinitamente piccolo.La derivata è la funzione pendenza o pendenza della retta tangente nel punto x.

 

f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

Derivata seconda

La derivata seconda è data da:

O semplicemente ricavare la derivata prima:

f''(x)=(f'(x))'

Derivata ennesima

La derivata n -esima viene calcolata derivando f(x) n volte.

La n -esima derivata è uguale alla derivata della (n-1) derivata:

f (n)(x) = [f (n-1)(x)]'

Esempio:

Trova la quarta derivata di

f ( x ) = 2 x 5

f (4) ( x ) = [2 x 5 ]'''' = [10 x 4 ]''' = [40 x 3 ]'' = [120 x 2 ]' = 240 x

Derivata sul grafico della funzione

La derivata di una funzione è la pendenza della retta tangenziale.

Regole derivate

Regola della somma derivata

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)
Regola del prodotto derivato

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)
Regola del quoziente derivato \left ( \frac{f(x)}{g(x)} \right )'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2( X)}
Regola della catena derivata

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

Regola della somma derivata

Quando a e b sono costanti.

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)

Esempio:

Trova la derivata di:

3x2+4x . _

Secondo la regola della somma:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x 2 , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x 2 + 4 x )' = 3⋅2 x +4⋅1 = 6 x + 4

Regola del prodotto derivato

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)

Regola del quoziente derivato

\left ( \frac{f(x)}{g(x)} \right )'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}

Regola della catena derivata

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

Questa regola può essere meglio compresa con la notazione di Lagrange:

\frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\cdot \frac{dg}{dx}

Funzione approssimazione lineare

Per Δx piccolo, possiamo ottenere un'approssimazione a f(x 0 +Δx), quando conosciamo f(x 0 ) e f ' (x 0 ):

f (x0+Δx) ≈ f (x0) + f '(x0)⋅Δx

Tabella delle derivate delle funzioni

Nome della funzione Funzione Derivato

f (x)

 f '( x )
Costante

const

0
Lineare

x

1
Energia

x a

a x a-1
Esponenziale

e x

e x
Esponenziale

a x

a x ln a
Logaritmo naturale

ln(x)

Logaritmo

logb(x)

Seno

sin x

cos x
Coseno

cos x

-sin x
Tangente

tan x

Arcoseno

arcsin x

Arcoseno

arccos x

Arcotangente

arctan x
Seno iperbolico

sinh x

cosh x
coseno iperbolico

cosh x

sinh x
Tangente iperbolica

tanh x

Seno iperbolico inverso

sinh-1 x

Coseno iperbolico inverso

cosh-1 x

Tangente iperbolica inversa

tanh-1 x

Esempi derivati

Esempio 1

f (x) = x3+5x2+x+8

f ' (x) = 3x2+2⋅5x+1+0 = 3x2+10x+1

Esempio #2

f (x) = sin(3x2)

Quando si applica la regola della catena:

f ' (x) = cos(3x2) ⋅ [3x2]' = cos(3x2) ⋅ 6x

Test della derivata seconda

Quando la derivata prima di una funzione è zero nel punto x 0 .

f '(x0) = 0

Allora la derivata seconda nel punto x 0 , f''(x 0 ), può indicare il tipo di quel punto:

 

f ''(x0) > 0

 minimo locale

f ''(x0) < 0

 massimo locale

f ''(x0) = 0

 indeterminato

 

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