Convoluzione

La convoluzione è la funzione di correlazione di f(τ) con la funzione inversa g(t-τ).

L'operatore di convoluzione è il simbolo dell'asterisco* .

La convoluzione di f(t) e g(t) è uguale all'integrale di f(τ) per f(t-τ):

$f(t)*g(t)=\int_{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )d\tau$

La convoluzione di 2 funzioni discrete è definita come:

$f(n)*g(n)=\sum_{k=-\infty }^{\infty }f(k)\: g(nk)$

La convoluzione discreta bidimensionale viene solitamente utilizzata per l'elaborazione delle immagini.

$f(n,m)*g(n,m)=\sum_{j=-\infty }^{\infty }\sum_{k=-\infty }^{\infty }f(j,k)\: sol(nj,mk)$

Possiamo filtrare il segnale di ingresso discreto x(n) per convoluzione con la risposta all'impulso h(n) per ottenere il segnale di uscita y(n).

y(n) = x(n) * h(n)

La trasformata di Fourier di una moltiplicazione di 2 funzioni è uguale alla convoluzione delle trasformate di Fourier di ciascuna funzione:

ℱ{f ⋅ g} = ℱ{f } * ℱ{g}

La trasformata di Fourier di una convoluzione di 2 funzioni è uguale alla moltiplicazione delle trasformate di Fourier di ciascuna funzione:

ℱ{f * g} = ℱ{f } ⋅ ℱ{g}

ℱ{f (t) ⋅ g(t)} = ℱ{f (t)} * ℱ{g(t)} = F(ω) * G(ω)

ℱ{f (t) * g(t)} = ℱ{f (t)} ⋅ ℱ{g(t)} = F(ω) ⋅ G(ω)

ℱ{f (n) ⋅ g(n)} = ℱ{f (n)} * ℱ{g(n)} = F(k) * G(k)

ℱ{f (n) * g(n)} = ℱ{f (n)} ⋅ ℱ{g(n)} = F(k) ⋅ G(k)

ℒ{f (t) * g(t)} = ℒ{f (t)} ⋅ ℒ{g(t)} = F(s) ⋅ G(s)

Guarda anche