अभिन्न

एकीकरण व्युत्पत्ति का उल्टा ऑपरेशन है।

फ़ंक्शन का इंटीग्रल फ़ंक्शन के ग्राफ़ के अंतर्गत क्षेत्र है।

अनिश्चितकालीन अभिन्न परिभाषा

कब डीएफ (एक्स) / डीएक्स = एफ (एक्स) => अभिन्न (एफ (एक्स) * डीएक्स) = एफ (एक्स) + सी

अनिश्चितकालीन अभिन्न गुण

अभिन्न (एफ (एक्स) + जी (एक्स)) * डीएक्स = अभिन्न (एफ (एक्स) * डीएक्स) + अभिन्न (जी (एक्स) * डीएक्स)

अभिन्न (ए * एफ (एक्स) * डीएक्स) = ए * इंटीग्रल (एफ (एक्स) * डीएक्स)

अभिन्न (एफ (ए * एक्स) * डीएक्स) = 1/ए * एफ (ए * एक्स) + सी

अभिन्न (एफ (एक्स + बी) * डीएक्स) = एफ (एक्स + बी) + सी

अभिन्न (एफ (ए * एक्स + बी) * डीएक्स) = 1 / ए * एफ (ए * एक्स + बी) + सी

अभिन्न (डीएफ (एक्स) / डीएक्स * डीएक्स) = एफ (एक्स)

एकीकरण चर का परिवर्तन

कब  औरएक्स = जी (टी)डीएक्स = जी '(टी) * डीटी

अभिन्न (एफ (एक्स) * डीएक्स) = अभिन्न (एफ (जी (टी)) * जी '(टी) * डीटी)

भागों द्वारा एकीकरण

अभिन्न (एफ (एक्स) * जी '(एक्स) * डीएक्स) = एफ (एक्स) * जी (एक्स) - अभिन्न (एफ' (एक्स) * जी (एक्स) * डीएक्स)

इंटीग्रल टेबल

अभिन्न (एफ (एक्स) * डीएक्स = एफ (एक्स) + सी

अभिन्न (ए * डीएक्स) = ए * एक्स + सी

अभिन्न (x^n*dx) = 1/(a+1) * x^(a+1) + c , जब a<>-1

अभिन्न (1/x*dx) = ln(abs(x)) + सी

अभिन्न (ई ^ एक्स * डीएक्स) = ई ^ एक्स + सी

अभिन्न (ए ^ एक्स * डीएक्स) = ए ^ एक्स / एलएन (एक्स) + सी

अभिन्न (एलएन (एक्स) * डीएक्स) = एक्स * एलएन (एक्स) - एक्स + सी

अभिन्न (पाप (एक्स) * डीएक्स) = -कोस (एक्स) + सी

अभिन्न (कोस (एक्स) * डीएक्स) = पाप (एक्स) + सी

अभिन्न (टैन (x) * dx) = -ln (abs (cos (x))) + सी

अभिन्न (arcsin (x) * dx) = x*arcsin (x) + sqrt (1-x^2) + सी

अभिन्न (arccos (x) * dx) = x*arccos (x) - sqrt (1-x^2) + सी

इंटीग्रल (आर्कटन (एक्स) * डीएक्स) = एक्स * आर्कटन (एक्स) - 1/2 * एलएन (1 + एक्स ^ 2) + सी

अभिन्न (dx/(ax+b)) = 1/a*ln(abs(a*x+b)) + c

इंटीग्रल(1/sqrt(a^2-x^2)*dx) = आर्क्सिन(x/ए) + सी

इंटीग्रल (1/sqrt(x^2 +- a^2)*dx) = ln(abs(x + sqrt(x^2 +- a^2)) + सी

अभिन्न (x*sqrt(x^2-a^2)*dx) = 1/(a*arccos(x/a)) + सी

अभिन्न (1/(ए^2+x^2)*dx) = 1/a*arctan(x/a) + सी

अभिन्न (1/(ए^2-x^2)*dx) = 1/2a*ln(abs(((a+x)/(ax))) + सी

अभिन्न (सिंह (एक्स) * डीएक्स) = कोष (एक्स) + सी

अभिन्न (cosh (x) * dx) = sinh (x) + सी

अभिन्न (tanh (x) * dx) = ln (cosh (x)) + सी

 

निश्चित अभिन्न परिभाषा

अभिन्न (a..b, f(x)*dx) = lim(n->inf, sum(i=1..n, f(z(i))*dx(i)))  

कबx0=ए, एक्सएन=बी

डीएक्स (के) = एक्स (के) - एक्स (के -1)

x(k-1) <= z(k) <=x(k)

निश्चित अभिन्न गणना

जब  ,

 डीएफ (एक्स) / डीएक्स = एफ (एक्स)  और

अभिन्न (ए..बी, एफ (एक्स) * डीएक्स) = एफ (बी) - एफ (ए)  

निश्चित अभिन्न गुण

अभिन्न (ए..बी, (एफ (एक्स) + जी (एक्स)) * डीएक्स) = अभिन्न (ए..बी, एफ (एक्स) * डीएक्स) + अभिन्न (ए..बी, जी (एक्स) * डीएक्स )

अभिन्न (ए..बी, सी * एफ (एक्स) * डीएक्स) = सी * इंटीग्रल (ए..बी, एफ (एक्स) * डीएक्स)

अभिन्न (ए..बी, एफ (एक्स) * डीएक्स) = - अभिन्न (बी..ए, एफ (एक्स) * डीएक्स)

अभिन्न (ए..बी, एफ (एक्स) * डीएक्स) = अभिन्न (ए..सी, एफ (एक्स) * डीएक्स) + अभिन्न (सी..बी, एफ (एक्स) * डीएक्स)

एब्स (इंटीग्रल (ए..बी, एफ (एक्स) * डीएक्स)) <= इंटीग्रल (ए..बी, एब्स (एफ (एक्स)) * डीएक्स)

न्यूनतम (एफ (एक्स)) * (बीए) <= अभिन्न (ए..बी, एफ (एक्स) * डीएक्स) <= अधिकतम (एफ (एक्स)) * (बीए) जब[ए, बी] के एक्स सदस्य

एकीकरण चर का परिवर्तन

जब  ,,,,  _  _एक्स = जी (टी)डीएक्स = जी '(टी) * डीटीजी (अल्फा) = एजी (बीटा) = बी

अभिन्न (ए..बी, एफ (एक्स) * डीएक्स) = अभिन्न (अल्फा..बीटा, एफ (जी (टी)) * जी '(टी) * डीटी)

भागों द्वारा एकीकरण

अभिन्न (ए..बी, एफ (एक्स) * जी '(एक्स) * डीएक्स) = अभिन्न (ए..बी, एफ (एक्स) * जी (एक्स) * डीएक्स) - अभिन्न (ए..बी, एफ ' (एक्स) * जी (एक्स) * डीएक्स)

औसत मूल्य प्रमेय

जब f ( x ) निरंतर होता है  तो एक बिंदु होता है सी [ए, बी] का सदस्य है

अभिन्न (ए..बी, एफ (एक्स) * डीएक्स) = एफ (सी) * (बीए)   

निश्चित समाकलन का चतुर्भुज सन्निकटन

इंटीग्रल(ए..बी, एफ(एक्स)*डीएक्स) ~ (बीए)/एन * (एफ(एक्स(0))/2 + एफ(एक्स(1)) + एफ(एक्स(2)) +.. .+ f(x(n-1)) + f(x(n))/2)

गामा समारोह

गामा (एक्स) = इंटीग्रल (0..इनफ, टी^(एक्स-1)*ई^(-टी)*डीटी

गामा फलन x> 0 के लिए अभिसारी है ।

गामा फ़ंक्शन गुण

G(x+1) = xG(x)

G(n+1) = n! , when nis member ofℕ (positive integer).

बीटा समारोह

बी (एक्स, वाई) = अभिन्न (0..1, टी ^ (एन-1) * (1-टी) ^ (वाई-1) * डीटी

बीटा फ़ंक्शन और गामा फ़ंक्शन संबंध

बी (एक्स, वाई) = गामा (एक्स) * गामा (वाई) / गामा (एक्स + वाई)

 

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गणना
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