व्युत्पन्न नियम

व्युत्पन्न नियम और कानून। कार्यों की तालिका के डेरिवेटिव।

• व्युत्पन्न परिभाषा
• व्युत्पन्न नियम
• कार्यों की तालिका के डेरिवेटिव
• व्युत्पन्न उदाहरण

व्युत्पन्न परिभाषा

किसी फ़ंक्शन का डेरिवेटिव फ़ंक्शन मान f(x) के बिंदु x+Δx और x के साथ Δx के अंतर का अनुपात है, जब Δx असीम रूप से छोटा होता है। व्युत्पन्न फ़ंक्शन ढलान या बिंदु x पर स्पर्शरेखा रेखा का ढलान है।

 

दूसरा व्युत्पन्न

दूसरा व्युत्पन्न द्वारा दिया गया है:

या बस पहला व्युत्पन्न प्राप्त करें:

एनटी व्युत्पन्न

n वें अवकलज की गणना f(x) n बार व्युत्पन्न करके की जाती है ।

n वां डेरिवेटिव (n-1) डेरिवेटिव के डेरिवेटिव के बराबर है :

f ⁽ⁿ⁾(x) = [f ^(n-1)(x)]'

उदाहरण:

का चौथा अवकलज ज्ञात कीजिए

एफ ( एक्स ) = 2 x ⁵

f ⁽⁴⁾ ( x ) = [2 x ⁵ ]'''' = [10 x ⁴ ]''' = [40 x ³ ]'' = [120 x ² ]' = 240 x

समारोह के ग्राफ पर व्युत्पन्न

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न स्पर्शरेखा रेखा का ढलान है।

व्युत्पन्न नियम

व्युत्पन्न योग नियम	( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)
व्युत्पन्न उत्पाद नियम	( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)
व्युत्पन्न भागफल नियम
व्युत्पन्न श्रृंखला नियम	f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

व्युत्पन्न योग नियम

जब ए और बी स्थिरांक हैं।

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)

उदाहरण:

का व्युत्पन्न खोजें:

3 x ² + 4 x।

योग नियम के अनुसार:

ए = 3, बी = 4

एफ ( एक्स ) = एक्स ² , जी ( एक्स ) = एक्स

एफ ' ( एक्स ) = 2 एक्स , जी' ( एक्स ) = 1

(3 x ² + 4 x )' = 3⋅2 x +4⋅1 = 6 x + 4

व्युत्पन्न उत्पाद नियम

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)

व्युत्पन्न भागफल नियम

व्युत्पन्न श्रृंखला नियम

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

लैग्रेंज के अंकन से इस नियम को बेहतर ढंग से समझा जा सकता है:

समारोह रैखिक सन्निकटन

_{छोटे Δx के लिए, हम f(x 0} +Δx) का सन्निकटन प्राप्त कर सकते हैं , जब हम f(x ₀ ) और f ' (x ₀ ) जानते हैं:

f (x₀+Δx) ≈ f (x₀) + f '(x₀)⋅Δx

कार्यों की तालिका के डेरिवेटिव

समारोह का नाम	समारोह	यौगिक
	f (x)	च '( एक्स )
नियत	const	0
रैखिक	x	1
शक्ति	x a	a x a-1
घातीय	e x	e x
घातीय	a x	a x ln a
प्राकृतिक	ln(x)
लोगारित्म	logb(x)
ज्या	sin x	cos x
कोज्या	cos x	-sin x
स्पर्शरेखा	tan x
आर्कसिन	arcsin x
कोटिकोज्या	arccos x
आर्कटैंजेंट	arctan x
अतिशयोक्तिपूर्ण साइन	sinh x	cosh x
अतिशयोक्तिपूर्ण कोसाइन	cosh x	sinh x
अतिशयोक्तिपूर्ण स्पर्शरेखा	tanh x
उलटा अतिशयोक्तिपूर्ण ज्या	sinh-1 x
उलटा अतिशयोक्तिपूर्ण कोसाइन	cosh-1 x
उलटा अतिशयोक्तिपूर्ण स्पर्शरेखा	tanh-1 x

व्युत्पन्न उदाहरण

उदाहरण 1

f (x) = x³+5x²+x+8

f ' (x) = 3x²+2⋅5x+1+0 = 3x²+10x+1

उदाहरण #2

f (x) = sin(3x²)

श्रृंखला नियम लागू करते समय:

f ' (x) = cos(3x²) ⋅ [3x²]' = cos(3x²) ⋅ 6x

दूसरा व्युत्पन्न परीक्षण

जब किसी फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न बिंदु x ₀ पर शून्य होता है ।

f '(x₀) = 0

फिर बिंदु x ₀ पर दूसरा अवकलज , f''(x ₀ ), उस बिंदु के प्रकार को इंगित कर सकता है:

 

f ''(x0) > 0	स्थानीय न्यूनतम
f ''(x0) < 0	स्थानीय अधिकतम
f ''(x0) = 0	अनपेक्षित

 

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यह सभी देखें

• गणना
• लाप्लास रूपांतरण ( ℒ  )
• पथरी के प्रतीक