लाप्लास रूपांतरण

लाप्लास परिवर्तन समारोह
लाप्लास रूपांतरण तालिका
लाप्लास गुणों को रूपांतरित करता है
लाप्लास रूपांतरण उदाहरण

लाप्लास रूपांतरण शून्य से अनंत तक एकीकरण द्वारा एक समय डोमेन फ़ंक्शन को एस-डोमेन फ़ंक्शन में परिवर्तित करता है

समय डोमेन फ़ंक्शन का, e ^-st से गुणा किया गया ।

लाप्लास रूपांतरण का उपयोग अवकल समीकरणों और समाकलों के लिए त्वरित समाधान खोजने के लिए किया जाता है।

समय डोमेन में व्युत्पत्ति एस-डोमेन में एस द्वारा गुणा करने के लिए परिवर्तित हो जाती है।

समय डोमेन में एकीकरण एस-डोमेन में एस द्वारा विभाजन में परिवर्तित हो जाता है।

लाप्लास परिवर्तन समारोह

लाप्लास रूपांतरण को एल {} ऑपरेटर के साथ परिभाषित किया गया है:

$F(s)=\mathcal{L}\left \{ f(t)\right \}=\int_{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt$

उलटा लाप्लास रूपांतरण

व्युत्क्रम लाप्लास परिवर्तन की सीधे गणना की जा सकती है।

आमतौर पर प्रतिलोम परिवर्तन तालिका से दिया जाता है।

लाप्लास रूपांतरण तालिका

समारोह का नाम	समय डोमेन समारोह	लाप्लास रूपांतरण
समारोह का नाम	f (t)	F(s) = L{f (t)}
नियत	1	$\frac{1}{s}$
रैखिक	टी	$\frac{1}{s^2}$
शक्ति	tⁿ	$\frac{n!}{s^{n+1}}$
शक्ति	t^a	Γ(a+1) ⋅ s ^-(a+1)
प्रतिपादक	e^at	$\frac{1}{sa}$
ज्या	sin at	$\frac{a}{s^2+a^2}$
कोज्या	cos at	$\frac{s}{s^2+a^2}$
अतिशयोक्तिपूर्ण साइन	sinh at	$\frac{a}{s^2-a^2}$
अतिशयोक्तिपूर्ण कोसाइन	cosh at	$\frac{s}{s^2-a^2}$
बढ़ता हुआ साइन	t sin at	$\frac{2as}{(s^2+a^2)^2}$
बढ़ती कोसाइन	t cos at	$\frac{s^2-a^2}{(s^2+a^2)^2}$
क्षय साइन	e^-atsin ωt	$\frac{\omega }{\left ( s+a \right )^2+\omega ^2}$
क्षय कोसाइन	e^-atcos ωt	$\frac{s+a} {\बाएं ( s+a \दाएं)^2+\omega ^2}$
डेल्टा समारोह	δ(t)	1
विलंबित डेल्टा	δ(t-a)	e^-as

लाप्लास गुणों को रूपांतरित करता है

सम्पत्ति का नाम	समय डोमेन समारोह	लाप्लास रूपांतरण	टिप्पणी
	f (t)	F(s)
रैखिकता	वायुसेना ( टी ) + बीजी ( टी )	एएफ ( एस ) + बीजी ( एस )	ए , बी स्थिर हैं
पैमाना परिवर्तन	च ( पर )	$\frac{1}{a}F\बाएं ( \frac{s}{a} \right )$	ए > 0
बदलाव	ई ^-पर च ( टी )	एफ ( एस + ए )
देरी	च ( टा )	ई ^-एफ ( एस ) ^{के रूप में}
व्युत्पत्ति	$\frac{df(t)}{dt}$	एसएफ ( एस ) - एफ (0)
एन-वें व्युत्पत्ति	$\frac{d^nf(t)}{dt^n}$	एस ^एन एफ ( एस ) - एस ^{एन -1}एफ (0) - एस ^{एन -2}एफ '(0) -...- एफ ^{( एन -1)} (0)
शक्ति	टी ^एन एफ ( टी )	$(-1)^n\frac{d^nF(s)}{ds^n}$
एकीकरण	$\int_{0}^{t}f(x)dx$	$\frac{1}{s}F(s)$
पारस्परिक	$\frac{1}{t}f(t)$	$\int_{s}^{\infty}F(x)dx$
कनवल्शन	एफ ( टी ) * जी ( टी )	एफ ( एस ) ⋅ जी ( एस )	* कनवल्शन ऑपरेटर है
आवधिक कार्य	एफ ( टी ) = एफ ( टी + टी )	$\frac{1}{1-e^{-sT}}\int_{0}^{T}e^{-sx}f(x)dx$

लाप्लास रूपांतरण उदाहरण

उदाहरण 1

f(t) का रूपांतरण ज्ञात कीजिए:

f (t) = 3t + 2t²

समाधान:

ℒ{t} = 1/s²

ℒ{t²} = 2/s³

F(s) = ℒ{f (t)} = ℒ{3t + 2t²} = 3ℒ{t} + 2ℒ{t²} = 3/s² + 4/s³

उदाहरण #2

F(s) का व्युत्क्रम परिवर्तन ज्ञात कीजिए:

F(s) = 3 / (s² + s - 6)

समाधान:

व्युत्क्रम परिवर्तन को खोजने के लिए, हमें s डोमेन फ़ंक्शन को सरल रूप में बदलने की आवश्यकता है:

F(s) = 3 / (s² + s - 6) = 3 / [(s-2)(s+3)] = a / (s-2) + b / (s+3)

[a(s+3) + b(s-2)] / [(s-2)(s+3)] = 3 / [(s-2)(s+3)]

a(s+3) + b(s-2) = 3

a और b ज्ञात करने के लिए, हमें 2 समीकरण मिलते हैं - एक s गुणांकों में से और दूसरा शेष समीकरणों में से:

(a+b)s + 3a-2b = 3

a+b = 0 , 3a-2b = 3

a = 3/5 , b = -3/5

F(s) = 3 / 5(s-2) - 3 / 5(s+3)

एक्सपोनेंट फ़ंक्शन के लिए ट्रांसफ़ॉर्म टेबल का उपयोग करके अब एफ (एस) को आसानी से रूपांतरित किया जा सकता है:

f (t) = (3/5)e^2t - (3/5)e^-3t