Intégral

L'intégration est l'opération inverse de la dérivation.

L'intégrale d'une fonction est la zone sous le graphique de la fonction.

Définition intégrale indéfinie

Lorsque dF(x)/dx = f(x) => intégrale(f(x)*dx) = F(x) + c

Propriétés intégrales indéfinies

intégrale(f(x)+g(x))*dx = intégrale(f(x)*dx) + intégrale(g(x)*dx)

intégrale(a*f(x)*dx) = a*intégrale(f(x)*dx)

intégrale(f(a*x)*dx) = 1/a * F(a*x)+c

intégrale(f(x+b)*dx) = F(x+b)+c

intégrale(f(a*x+b)*dx) = 1/a * F(a*x+b) + c

intégrale(df(x)/dx * dx) = f(x)

Changement de variable d'intégration

Quand  etx = g(t)dx = g'(t)*dt

intégrale(f(x)*dx) = intégrale(f(g(t))*g'(t)*dt)

Intégration par parties

intégrale(f(x)*g'(x)*dx) = f(x)*g(x) - intégrale(f'(x)*g(x)*dx)

Tableau des intégrales

intégrale(f(x)*dx = F(x) + c

intégrale(a*dx) = a*x+c

intégrale(x^n*dx) = 1/(a+1) * x^(a+1) + c , quand a<>-1

intégrale(1/x*dx) = ln(abs(x)) + c

intégrale(e^x*dx) = e^x + c

intégrale(a^x*dx) = a^x / ln(x) + c

intégrale(ln(x)*dx) = x*ln(x) - x + c

intégrale(sin(x)*dx) = -cos(x) + c

intégrale(cos(x)*dx) = sin(x) + c

intégrale(tan(x)*dx) = -ln(abs(cos(x))) + c

intégrale(arcsin(x)*dx) = x*arcsin(x) + sqrt(1-x^2) + c

intégrale(arccos(x)*dx) = x*arccos(x) - sqrt(1-x^2) + c

intégrale(arctan(x)*dx) = x*arctan(x) - 1/2*ln(1+x^2) + c

intégrale(dx/(ax+b)) = 1/a*ln(abs(a*x+b)) + c

intégrale(1/sqrt(a^2-x^2)*dx) = arcsin(x/a) + c

intégrale(1/sqrt(x^2 +- a^2)*dx) = ln(abs(x + sqrt(x^2 +- a^2)) + c

intégrale(x*sqrt(x^2-a^2)*dx) = 1/(a*arccos(x/a)) + c

intégrale(1/(a^2+x^2)*dx) = 1/a*arctan(x/a) + c

intégrale(1/(a^2-x^2)*dx) = 1/2a*ln(abs(((a+x)/(ax))) + c

intégrale(sinh(x)*dx) = cosh(x) + c

intégrale(cosh(x)*dx) = sinh(x) + c

intégrale(tanh(x)*dx) = ln(cosh(x)) + c

 

Définition intégrale définie

intégrale(a..b, f(x)*dx) = lim(n->inf, somme(i=1..n, f(z(i))*dx(i)))  

Lorsquex0=a, xn=b

dx(k) = x(k) - x(k-1)

x(k-1) <= z(k) <=x(k)

Calcul intégral défini

Quand  ,

 dF(x)/dx = f(x)  et

intégrale(a..b, f(x)*dx) = F(b) - F(a)  

Propriétés intégrales définies

intégrale(a..b, (f(x)+g(x))*dx) = intégrale(a..b, f(x)*dx) + intégrale(a..b, g(x)*dx )

intégrale(a..b, c*f(x)*dx) = c*intégrale(a..b, f(x)*dx)

intégrale(a..b, f(x)*dx) = - intégrale(b..a, f(x)*dx)

intégrale(a..b, f(x)*dx) = intégrale(a..c, f(x)*dx) + intégrale(c..b, f(x)*dx)

abs( intégrale(a..b, f(x)*dx) ) <= intégrale(a..b, abs(f(x))*dx)

min(f(x))*(ba) <= intégrale(a..b, f(x)*dx) <= max(f(x))*(ba) lorsquex membre de [a,b]

Changement de variable d'intégration

Quand  ,  ,  ,x = g(t)dx = g'(t)*dtg(alpha) = ung(bêta) = b

intégrale(a..b, f(x)*dx) = intégrale(alpha..beta, f(g(t))*g'(t)*dt)

Intégration par parties

intégrale(a..b, f(x)*g'(x)*dx) = intégrale(a..b, f(x)*g(x)*dx) - intégrale(a..b, f' (x)*g(x)*dx)

Théorème de la valeur moyenne

Lorsque f ( x ) est continue, il existe un point  tel que c est membre de [a,b]

intégrale(a..b, f(x)*dx) = f(c)*(ba)   

Approximation trapézoïdale de l'intégrale définie

intégrale(a..b, f(x)*dx) ~ (ba)/n * (f(x(0))/2 + f(x(1)) + f(x(2)) +.. .+ f(x(n-1)) + f(x(n))/2)

La fonction gamma

gamma(x) = intégrale(0..inf, t^(x-1)*e^(-t)*dt

La fonction Gamma est convergente pour x> 0 .

Propriétés de la fonction gamma

G(x+1) = xG(x)

G(n+1) = n! , when nis member ofℕ (positive integer).

La fonction bêta

B(x,y) = intégrale(0..1, t^(n-1)*(1-t)^(y-1)*dt

Relation entre la fonction bêta et la fonction gamma

B(x,y) = Gamma(x)*Gamma(y)/Gamma(x+y)

 

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