Transformation de Laplace

Fonction transformée de Laplace
Table de transformation de Laplace
Propriétés de la transformée de Laplace
Exemples de transformation de Laplace

La transformation de Laplace convertit une fonction de domaine temporel en fonction de domaine s par intégration de zéro à l'infini

de la fonction de domaine temporel, multiplié par e ^-st .

La transformée de Laplace est utilisée pour trouver rapidement des solutions pour les équations différentielles et les intégrales.

La dérivation dans le domaine temporel est transformée en multiplication par s dans le domaine s.

L'intégration dans le domaine temporel est transformée en division par s dans le domaine s.

Fonction transformée de Laplace

La transformée de Laplace est définie avec l' opérateur L {} :

$F(s)=\mathcal{L}\left \{ f(t)\right \}=\int_{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt$

Transformée de Laplace inverse

La transformée de Laplace inverse peut être calculée directement.

Habituellement, la transformation inverse est donnée à partir du tableau des transformations.

Table de transformation de Laplace

Nom de la fonction	Fonction de domaine temporel	transformation de Laplace
Nom de la fonction	f (t)	F(s) = L{f (t)}
Constante	1	$\frac{1}{s}$
Linéaire	t	$\frac{1}{s^2}$
Pouvoir	tⁿ	$\frac{n!}{s^{n+1}}$
Pouvoir	t^a	Γ(a+1) ⋅ s ^-(a+1)
Exposant	e^at	$\frac{1}{sa}$
Sinus	sin at	$\frac{a}{s^2+a^2}$
Cosinus	cos at	$\frac{s}{s^2+a^2}$
Sinus hyperbolique	sinh at	$\frac{a}{s^2-a^2}$
Cosinus hyperbolique	cosh at	$\frac{s}{s^2-a^2}$
Sinus croissant	t sin at	$\frac{2as}{(s^2+a^2)^2}$
Cosinus croissant	t cos at	$\frac{s^2-a^2}{(s^2+a^2)^2}$
Sinus décroissant	e^-atsin ωt	$\frac{\omega }{\left ( s+a \right )^2+\omega ^2}$
Cosinus décroissant	e^-atcos ωt	$\frac{s+a }{\left ( s+a \right )^2+\omega ^2}$
Fonction delta	δ(t)	1
Delta retardé	δ(t-a)	e^-as

Propriétés de la transformée de Laplace

Nom de la propriété	Fonction de domaine temporel	transformation de Laplace	Commenter
	f (t)	F(s)
Linéarité	af ( t )+ bg ( t )	aF ( s ) + bG ( s )	a , b sont constants
Changement d'échelle	f ( à )	$\frac{1}{a}F\left ( \frac{s}{a} \right )$	un >0
Décalage	e ^-à f ( t )	F ( s + a )
Retard	f ( ta )	e ^{- comme} F ( s )
Dérivation	$\frac{df(t)}{dt}$	sF ( s ) - f (0)
N-ième dérivation	$\frac{d^nf(t)}{dt^n}$	s ⁿ f ( s ) - s ^{n -1}f (0) - s ^{n -2}f '(0)-...- f ^{( n -1)} (0)
Pouvoir	t ⁿ f ( t )	$(-1)^n\frac{d^nF(s)}{ds^n}$
L'intégration	$\int_{0}^{t}f(x)dx$	$\frac{1}{s}F(s)$
Réciproque	$\frac{1}{t}f(t)$	$\int_{s}^{\infty}F(x)dx$
Convolution	f ( t ) * g ( t )	F ( s ) ⋅ G ( s )	* est l'opérateur de convolution
Fonction périodique	f ( t ) = f ( t + T )	$\frac{1}{1-e^{-sT}}\int_{0}^{T}e^{-sx}f(x)dx$

Exemples de transformation de Laplace

Exemple 1

Trouvez la transformée de f(t):

f (t) = 3t + 2t²

Solution:

ℒ{t} = 1/s²

ℒ{t²} = 2/s³

F(s) = ℒ{f (t)} = ℒ{3t + 2t²} = 3ℒ{t} + 2ℒ{t²} = 3/s² + 4/s³

Exemple #2

Trouver la transformée inverse de F(s) :

F(s) = 3 / (s² + s - 6)

Solution:

Afin de trouver la transformée inverse, nous devons changer la fonction de domaine s en une forme plus simple :

F(s) = 3 / (s² + s - 6) = 3 / [(s-2)(s+3)] = a / (s-2) + b / (s+3)

[a(s+3) + b(s-2)] / [(s-2)(s+3)] = 3 / [(s-2)(s+3)]

a(s+3) + b(s-2) = 3

Pour trouver a et b, nous obtenons 2 équations - l'un des coefficients s et le second des autres :

(a+b)s + 3a-2b = 3

a+b = 0 , 3a-2b = 3

a = 3/5 , b = -3/5

F(s) = 3 / 5(s-2) - 3 / 5(s+3)

Maintenant, F(s) peut être transformé facilement en utilisant le tableau des transformations pour la fonction exposant :

f (t) = (3/5)e^2t - (3/5)e^-3t