Convolution

La convolution est la fonction de corrélation de f(τ) avec la fonction inverse g(t-τ).

L'opérateur de convolution est le symbole astérisque * .

La convolution de f(t) et g(t) est égale à l'intégrale de f(τ) fois f(t-τ) :

$f(t)*g(t)=\int_{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )d\tau$

La convolution de 2 fonctions discrètes est définie comme suit :

$f(n)*g(n)=\sum_{k=-\infty }^{\infty}f(k)\ : g(nk)$

La convolution discrète bidimensionnelle est généralement utilisée pour le traitement d'image.

$f(n,m)*g(n,m)=\sum_{j=-\infty }^{\infty }\sum_{k=-\infty }^{\infty}f(j,k)\ : g(nj,mk)$

Nous pouvons filtrer le signal d'entrée discret x(n) par convolution avec la réponse impulsionnelle h(n) pour obtenir le signal de sortie y(n).

y(n) = x(n) * h(n)

La transformée de Fourier d'une multiplication de 2 fonctions est égale à la convolution des transformées de Fourier de chaque fonction :

ℱ{f ⋅ g} = ℱ{f } * ℱ{g}

La transformée de Fourier d'une convolution de 2 fonctions est égale à la multiplication des transformées de Fourier de chaque fonction :

ℱ{f * g} = ℱ{f } ⋅ ℱ{g}

ℱ{f (t) ⋅ g(t)} = ℱ{f (t)} * ℱ{g(t)} = F(ω) * G(ω)

ℱ{f (t) * g(t)} = ℱ{f (t)} ⋅ ℱ{g(t)} = F(ω) ⋅ G(ω)

ℱ{f (n) ⋅ g(n)} = ℱ{f (n)} * ℱ{g(n)} = F(k) * G(k)

ℱ{f (n) * g(n)} = ℱ{f (n)} ⋅ ℱ{g(n)} = F(k) ⋅ G(k)

ℒ{f (t) * g(t)} = ℒ{f (t)} ⋅ ℒ{g(t)} = F(s) ⋅ G(s)

Voir également