Règles dérivées

Règles et lois dérivées. Tableau des dérivées de fonctions.

Définition dérivée

La dérivée d'une fonction est le rapport de la différence de la valeur de la fonction f(x) aux points x+Δx et x avec Δx, lorsque Δx est infiniment petit. La dérivée est la fonction pente ou pente de la tangente au point x.

 

f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

Dérivée seconde

La dérivée seconde est donnée par :

Ou dérivez simplement la dérivée première :

f''(x)=(f'(x))'

Nième dérivée

La n ième dérivée est calculée en dérivant f(x) n fois.

La dérivée n ième est égale à la dérivée de la dérivée (n-1) :

f (n)(x) = [f (n-1)(x)]'

Exemple:

Trouver la dérivée quatrième de

f ( X ) = 2 x 5

f (4) ( X ) = [2 x 5 ]'''' = [10 x 4 ]''' = [40 x 3 ]'' = [120 x 2 ]' = 240 x

Dérivée sur le graphique de la fonction

La dérivée d'une fonction est la pente de la tangentielle.

Règles dérivées

Règle de la somme dérivée

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)
Règle du produit dérivé

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)
Règle du quotient dérivé \left ( \frac{f(x)}{g(x)} \right )'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2( X)}
Règle de chaîne dérivée

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

Règle de la somme dérivée

Quand a et b sont des constantes.

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)

Exemple:

Trouver la dérivée de :

3 x 2 + 4 x.

Selon la règle de la somme :

un = 3, b = 4

f ( X ) = X 2 , g ( X ) = X

f ' ( X ) = 2 X , g' ( X ) = 1

(3 x 2 + 4 x )' = 3⋅2 x +4⋅1 = 6 x + 4

Règle du produit dérivé

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)

Règle du quotient dérivé

\left ( \frac{f(x)}{g(x)} \right )'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}

Règle de chaîne dérivée

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

Cette règle peut être mieux comprise avec la notation de Lagrange :

\frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\cdot \frac{dg}{dx}

Approximation linéaire de la fonction

Pour un petit Δx, on peut obtenir une approximation de f(x 0 +Δx), quand on connaît f(x 0 ) et f ' (x 0 ) :

f (x0+Δx) ≈ f (x0) + f '(x0)⋅Δx

Tableau des dérivées de fonctions

Nom de la fonction Une fonction Dérivé

f (x)

 f '( x )
Constante

const

0
Linéaire

x

1
Pouvoir

x a

a x a-1
Exponentiel

e x

e x
Exponentiel

a x

a x ln a
Un algorithme naturel

ln(x)

Logarithme

logb(x)

Sinus

sin x

cos x
Cosinus

cos x

-sin x
Tangente

tan x

Arcsinus

arcsin x

Arc cosinus

arccos x

Arctangente

arctan x
Sinus hyperbolique

sinh x

cosh x
Cosinus hyperbolique

cosh x

sinh x
Tangente hyperbolique

tanh x

Sinus hyperbolique inverse

sinh-1 x

Cosinus hyperbolique inverse

cosh-1 x

Tangente hyperbolique inverse

tanh-1 x

Exemples dérivés

Exemple 1

f (x) = x3+5x2+x+8

f ' (x) = 3x2+2⋅5x+1+0 = 3x2+10x+1

Exemple #2

f (x) = sin(3x2)

Lors de l'application de la règle de la chaîne :

f ' (x) = cos(3x2) ⋅ [3x2]' = cos(3x2) ⋅ 6x

Test de la dérivée seconde

Lorsque la dérivée première d'une fonction est nulle au point x 0 .

f '(x0) = 0

Alors la dérivée seconde au point x 0 , f''(x 0 ), peut indiquer le type de ce point :

 

f ''(x0) > 0

 minimale locale

f ''(x0) < 0

 maximale locale

f ''(x0) = 0

 indéterminé

 

Voir également

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