Standardabweichung

In Wahrscheinlichkeit und Statistik ist die Standardabweichung einer Zufallsvariablen der durchschnittliche Abstand einer Zufallsvariablen vom Mittelwert.

Sie stellt dar, wie die Zufallsvariable in der Nähe des Mittelwerts verteilt ist. Eine kleine Standardabweichung zeigt an, dass die Zufallsvariable in der Nähe des Mittelwerts verteilt ist. Eine große Standardabweichung zeigt an, dass die Zufallsvariable weit vom Mittelwert entfernt verteilt ist.

Formel zur Definition der Standardabweichung

Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz der Zufallsvariablen X mit dem Mittelwert μ.

\sigma=std(X)=\sqrt{Var(X)}=\sqrt{E((X-\mu)^2}

Aus der Definition der Standardabweichung können wir erhalten

\sigma=std(X)=\sqrt{E(X^2)-\mu^2}

Standardabweichung der kontinuierlichen Zufallsvariablen

Für stetige Zufallsvariable mit Mittelwert μ und Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f(x):

\sigma=std(X)=\sqrt{\int_{-\infty }^{\infty }(x-\mu)^2\: f(x)dx}

oder

\sigma =std(X)=\sqrt{\left [ \int_{-\infty }^{\infty }x^2\: f(x)dx \right ]-\mu^2}

Standardabweichung einer diskreten Zufallsvariablen

Für diskrete Zufallsvariable X mit Mittelwert μ und Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion P(x):

\sigma=std(X)=\sqrt{\sum_{i}^{}(x_i-\mu_X)^2P_X(x_i)}

oder

\sigma=std(X)=\sqrt{\left[\sum_{i}^{}x_i^2P(x_i)\right]-\mu^2}

 

Wahrscheinlichkeitsverteilung ►

 

Siehe auch

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WAHRSCHEINLICHKEIT & STATISTIK
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