Wahrscheinlichkeitsverteilung

In der Wahrscheinlichkeits- und Statistikverteilung ist ein Merkmal einer Zufallsvariablen, das die Wahrscheinlichkeit des jeweiligen Wertes der Zufallsvariablen beschreibt.

Jede Verteilung hat eine bestimmte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion.

Obwohl es eine unbestimmte Anzahl von Wahrscheinlichkeitsverteilungen gibt, werden mehrere gängige Verteilungen verwendet.

Verteilungsfunktion

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung wird durch die Summenverteilungsfunktion F(x) beschrieben,

was die Wahrscheinlichkeit ist, dass die Zufallsvariable X einen Wert kleiner oder gleich x erhält:

F(x) = P(X ≤ x)

Kontinuierliche Verteilung

Die Summenverteilungsfunktion F(x) wird durch Integration der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f(u) der kontinuierlichen Zufallsvariablen X berechnet.

Diskrete Verteilung

Die kumulative Verteilungsfunktion F(x) wird durch Summierung der Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion P(u) der diskreten Zufallsvariablen X berechnet.

Kontinuierliche Verteilungstabelle

Kontinuierliche Verteilung ist die Verteilung einer kontinuierlichen Zufallsvariablen.

Beispiel für kontinuierliche Verteilung

...

Kontinuierliche Verteilungstabelle

Verteilungsname Verteilungssymbol Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (pdf) Gemein Varianz
   

f X ( x )

μ = E ( X )

σ 2 = Var ( X )
Normal / Gaußsch

X ~ N (μ,σ 2 )

 \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} μ σ 2
Uniform

X ~ U ( a , b )

 \begin{Bmatrix}\frac{1}{ba} & ,a\leq x\leq b\\ & \\0 & ,sonst\end{matrix} \frac{(ba)^2}{12}
Exponentiell X ~ exp (λ) \begin{Bmatrix}\lambda e^{-\lambda x} & x\geq 0\\ 0 & x<0\end{matrix} \frac{1}{\lambda} \frac{1}{\lambda^2}
Gamma X ~ Gamma ( c , λ) \frac{\lambda ^cx^{c-1}e^{-\lambda x}}{\Gamma (c)}

x > 0, c > 0, λ > 0

 \frac{c}{\lambda} \frac{c}{\lambda^2}
Chi-Quadrat

X ~ χ 2 ( k )

 \frac{x^{k/2-1}e^{-x/2}}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}

k

2 k
Wunsch        
F

X ~ F ( k 1 , k 2 )

      
Beta        
Weibull        
Log-normal

X ~ LN (μ,σ 2 )

      
Rayleigh        
Cauchy        
Dirichlet        
Laplace        
Erheben        
Reis        
Studenten-t        

Diskrete Verteilungstabelle

Diskrete Verteilung ist die Verteilung einer diskreten Zufallsvariablen.

Beispiel für diskrete Verteilung

...

Diskrete Verteilungstabelle

Verteilungsname Verteilungssymbol Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion (pmf) Gemein Varianz
    f x ( k ) = P ( X = k )

k = 0,1,2,...

 E ( x ) Var ( x )
Binomial

X ~ Bin ( n , p )

 \binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{nk}

np

np (1- p )
Poisson

X ~ Poisson (λ)

λ ≥ 0

λ

λ
Uniform

X ~ U ( a,b )

 \begin{Bmatrix}\frac{1}{b-a+1} & ,a\leq k\leq b\\ & \\0 & ,sonst\end{matrix} \frac{a+b}{2} \frac{(b-a+1)^{2}-1}{12}
Geometrisch

X ~ Geom ( p )

 p(1-p)^{k}

\frac{1-p}{p}

\frac{1-p}{p^2}
Hypergeometrisch

X ~ HG ( N , K , n )

N = 0,1,2,...

K = 0,1,.., N

n = 0,1,..., N

 \frac{nK}{N} \frac{nK(NK)(Nn)}{N^2(N-1)}
Bernoulli

X ~ Bern ( p )

 \begin{Bmatrix}(1-p) & ,k=0\\ p & ,k=1\\ 0 & ,sonst\end{matrix}

p

p (1- p )

 

Siehe auch

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WAHRSCHEINLICHKEIT & STATISTIK
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