Integrální

Integrace je obrácená operace derivace.

Integrál funkce je plocha pod grafem funkce.

Definice neurčitého integrálu

Když dF(x)/dx = f(x) => integrál (f(x)*dx) = F(x) + c

Neurčité integrální vlastnosti

integrál(f(x)+g(x))*dx = integrál(f(x)*dx) + integrál(g(x)*dx)

integrál(a*f(x)*dx) = a*integrál(f(x)*dx)

integrál(f(a*x)*dx) = 1/a * F(a*x)+c

integrál(f(x+b)*dx) = F(x+b)+c

integrál(f(a*x+b)*dx) = 1/a * F(a*x+b) + c

integrál(df(x)/dx * dx) = f(x)

Změna integrační proměnné

Kdy  ax = g(t)dx = g'(t)*dt

integrál(f(x)*dx) = integrál (f(g(t))*g'(t)*dt)

Integrace podle částí

integrál(f(x)*g'(x)*dx) = f(x)*g(x) - integrál (f'(x)*g(x)*dx)

Tabulka integrálů

integrál(f(x)*dx = F(x) + c

integrál(a*dx) = a*x+c

integrál(x^n*dx) = 1/(a+1) * x^(a+1) + c , když a<>-1

integrál(1/x*dx) = ln(abs(x)) + c

integrál(e^x*dx) = e^x + c

integrál(a^x*dx) = a^x / ln(x) + c

integrál(ln(x)*dx) = x*ln(x) - x + c

integrál(sin(x)*dx) = -cos(x) + c

integrál(cos(x)*dx) = sin(x) + c

integrál(tan(x)*dx) = -ln(abs(cos(x))) + c

integrál(arcsin(x)*dx) = x*arcsin(x) + sqrt(1-x^2) + c

integrál(arccos(x)*dx) = x*arccos(x) - sqrt(1-x^2) + c

integrál(arktan(x)*dx) = x*arktan(x) - 1/2*ln(1+x^2) + c

integrál(dx/(ax+b)) = 1/a*ln(abs(a*x+b)) + c

integrál(1/sqrt(a^2-x^2)*dx) = arcsin(x/a) + c

integrál(1/sqrt(x^2 +- a^2)*dx) = ln(abs(x + sqrt(x^2 +- a^2)) + c

integrál(x*sqrt(x^2-a^2)*dx) = 1/(a*arccos(x/a)) + c

integrál(1/(a^2+x^2)*dx) = 1/a*arktan(x/a) + c

integrál(1/(a^2-x^2)*dx) = 1/2a*ln(abs(((a+x)/(ax))) + c

integrál(sinh(x)*dx) = cosh(x) + c

integrál(cosh(x)*dx) = sinh(x) + c

integrál(tanh(x)*dx) = ln(cosh(x)) + c

 

Definice určitého integrálu

integrál(a..b, f(x)*dx) = lim(n->inf, součet(i=1..n, f(z(i))*dx(i)))  

Kdyžx0=a, xn=b

dx(k) = x(k) - x(k-1)

x(k-1) <= z(k) <=x(k)

Definitivní integrální výpočet

když  ,

 dF(x)/dx = f(x)  a

integrál(a..b, f(x)*dx) = F(b) - F(a)  

Definitivní integrální vlastnosti

integrál(a..b, (f(x)+g(x))*dx) = integrál(a..b, f(x)*dx) + integrál(a..b, g(x)*dx )

integrál(a..b, c*f(x)*dx) = c*integrál(a..b, f(x)*dx)

integrál(a..b, f(x)*dx) = - integrál(b..a, f(x)*dx)

integrál(a..b, f(x)*dx) = integrál(a..c, f(x)*dx) + integrál(c..b, f(x)*dx)

abs( integrál(a..b, f(x)*dx) ) <= integrál(a..b, abs(f(x))*dx)

min(f(x))*(ba) <= integrál (a..b, f(x)*dx) <= max(f(x))*(ba) kdyžx člen [a,b]

Změna integrační proměnné

Když  ,,,,  _  _x = g(t)dx = g'(t)*dtg(alfa) = ag(beta) = b

integrál(a..b, f(x)*dx) = integrál(alfa..beta, f(g(t))*g'(t)*dt)

Integrace podle částí

integrál(a..b, f(x)*g'(x)*dx) = integrál(a..b, f(x)*g(x)*dx) - integrál(a..b, f' (x)*g(x)*dx)

Věta o střední hodnotě

Když je f ( x ) spojitá, existuje bod  tak c je členem [a,b]

integrál(a..b, f(x)*dx) = f(c)*(ba)   

Lichoběžníková aproximace určitého integrálu

integrál(a..b, f(x)*dx) ~ (ba)/n * (f(x(0))/2 + f(x(1)) + f(x(2)) +.. .+ f(x(n-1)) + f(x(n))/2)

Funkce gama

gama(x) = integrál(0..inf, t^(x-1)*e^(-t)*dt

Funkce gama je konvergentní pro x> 0 .

Vlastnosti funkce gama

G(x+1) = xG(x)

G(n+1) = n! , when nis member ofℕ (positive integer).

Funkce Beta

B(x,y) = integrál(0..1, t^(n-1)*(1-t)^(y-1)*dt

Vztah funkce beta a funkce gama

B(x,y) = Gama(x)*Gamma(y)/Gamma(x+y)

 

Advertising

 

 

POČET
°• CmtoInchesConvert.com •°