Laplaceova transformace

Laplaceova transformační funkce
Laplaceova transformační tabulka
Vlastnosti Laplaceovy transformace
Příklady Laplaceovy transformace

Laplaceova transformace převádí funkci časové domény na funkci s-domény integrací od nuly do nekonečna

funkce časové domény vynásobené e ^-st .

Laplaceova transformace se používá k rychlému nalezení řešení pro diferenciální rovnice a integrály.

Derivace v časové oblasti se transformuje na násobení s v doméně s.

Integrace v časové oblasti se transformuje na dělení podle s v doméně s.

Laplaceova transformační funkce

Laplaceova transformace je definována operátorem L {}:

$F(s)=\mathcal{L}\left \{ f(t)\right \}=\int_{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt$

Inverzní Laplaceova transformace

Inverzní Laplaceovu transformaci lze vypočítat přímo.

Obvykle je inverzní transformace dána z tabulky transformací.

Laplaceova transformační tabulka

Název funkce	Funkce časové domény	Laplaceova transformace
Název funkce	f (t)	F(s) = L{f (t)}
Konstantní	1	$\frac{1}{s}$
Lineární	t	$\frac{1}{s^2}$
Napájení	tⁿ	$\frac{n!}{s^{n+1}}$
Napájení	t^a	Γ(a+1) ⋅ s ^-(a+1)
Exponent	e^at	$\frac{1}{sa}$
Sinus	sin at	$\frac{a}{s^2+a^2}$
Kosinus	cos at	$\frac{s}{s^2+a^2}$
Hyperbolický sinus	sinh at	$\frac{a}{s^2-a^2}$
Hyperbolický kosinus	cosh at	$\frac{s}{s^2-a^2}$
Rostoucí sinus	t sin at	$\frac{2as}{(s^2+a^2)^2}$
Rostoucí kosinus	t cos at	$\frac{s^2-a^2}{(s^2+a^2)^2}$
Rozpadající se sinus	e^-atsin ωt	$\frac{\omega }{\left ( s+a \right )^2+\omega ^2}$
Rozpadající se kosinus	e^-atcos ωt	$\frac{s+a }{\left ( s+a \right )^2+\omega ^2}$
Delta funkce	δ(t)	1
Zpožděná delta	δ(t-a)	e^-as

Vlastnosti Laplaceovy transformace

Název vlastnosti	Funkce časové domény	Laplaceova transformace	Komentář
	f (t)	F(s)
Linearita	af ( t )+ bg ( t )	aF ( s ) + bG ( s )	a , b jsou konstantní
Změna měřítka	f ( zavináč )	$\frac{1}{a}F\left ( \frac{s}{a} \right )$	a >0
Posun	e ^-at f ( t )	F ( s + a )
Zpoždění	f ( ta )	e ^{- jako} F ( s )
Derivace	$\frac{df(t)}{dt}$	sF ( s ) - f (0)
N-té odvození	$\frac{d^nf(t)}{dt^n}$	s ⁿ f ( s ) - s ^{n -1}f (0) - s ^{n -2}f '(0)-...- f ^{( n -1)} (0)
Napájení	t ⁿ f ( t )	$(-1)^n\frac{d^nF(s)}{ds^n}$
Integrace	$\int_{0}^{t}f(x)dx$	$\frac{1}{s}F(y)$
Reciproční	$\frac{1}{t}f(t)$	$\int_{s}^{\infty }F(x)dx$
Konvoluce	f ( t ) * g ( t )	F ( s ) ⋅ G ( s )	* je konvoluční operátor
Periodická funkce	f ( t ) = f ( t + T )	$\frac{1}{1-e^{-sT}}\int_{0}^{T}e^{-sx}f(x)dx$

Příklady Laplaceovy transformace

Příklad #1

Najděte transformaci f(t):

f (t) = 3t + 2t²

Řešení:

ℒ{t} = 1/s²

ℒ{t²} = 2/s³

F(s) = ℒ{f (t)} = ℒ{3t + 2t²} = 3ℒ{t} + 2ℒ{t²} = 3/s² + 4/s³

Příklad č. 2

Najděte inverzní transformaci F(s):

F(s) = 3 / (s² + s - 6)

Řešení:

Abychom našli inverzní transformaci, musíme změnit funkci domény s na jednodušší formu:

F(s) = 3 / (s² + s - 6) = 3 / [(s-2)(s+3)] = a / (s-2) + b / (s+3)

[a(s+3) + b(s-2)] / [(s-2)(s+3)] = 3 / [(s-2)(s+3)]

a(s+3) + b(s-2) = 3

Abychom našli a a b, dostaneme 2 rovnice - jeden z koeficientů s a druhý ze zbytku:

(a+b)s + 3a-2b = 3

a+b = 0 , 3a-2b = 3

a = 3/5 , b = -3/5

F(s) = 3 / 5(s-2) - 3 / 5(s+3)

Nyní lze F(s) snadno transformovat pomocí transformační tabulky pro funkci exponent:

f (t) = (3/5)e^2t - (3/5)e^-3t