Konvoluce

Konvoluce je korelační funkce f(τ) s obrácenou funkcí g(t-τ).

Operátorem konvoluce je symbol hvězdičky * .

Konvoluce f(t) ag(t) se rovná integrálu f(τ) krát f(t-τ):

$f(t)*g(t)=\int_{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )d\tau$

Konvoluce 2 diskrétních funkcí je definována jako:

$f(n)*g(n)=\sum_{k=-\infty }^{\infty }f(k)\: g(nk)$

Pro zpracování obrazu se obvykle používá 2rozměrná diskrétní konvoluce.

$f(n,m)*g(n,m)=\sum_{j=-\infty }^{\infty }\sum_{k=-\infty }^{\infty }f(j,k)\: g(nj,mk)$

Můžeme filtrovat diskrétní vstupní signál x(n) konvolucí s impulsní odezvou h(n), abychom dostali výstupní signál y(n).

y(n) = x(n) * h(n)

Fourierova transformace násobení 2 funkcí se rovná konvoluci Fourierových transformací každé funkce:

ℱ{f ⋅ g} = ℱ{f } * ℱ{g}

Fourierova transformace konvoluce 2 funkcí se rovná násobení Fourierovy transformace každé funkce:

ℱ{f * g} = ℱ{f } ⋅ ℱ{g}

ℱ{f (t) ⋅ g(t)} = ℱ{f (t)} * ℱ{g(t)} = F(ω) * G(ω)

ℱ{f (t) * g(t)} = ℱ{f (t)} ⋅ ℱ{g(t)} = F(ω) ⋅ G(ω)

ℱ{f (n) ⋅ g(n)} = ℱ{f (n)} * ℱ{g(n)} = F(k) * G(k)

ℱ{f (n) * g(n)} = ℱ{f (n)} ⋅ ℱ{g(n)} = F(k) ⋅ G(k)

ℒ{f (t) * g(t)} = ℒ{f (t)} ⋅ ℒ{g(t)} = F(s) ⋅ G(s)

Viz také