Pravidla odvození

Pravidla a zákony odvození. Tabulka derivátů funkcí.

Definice derivátu

Derivace funkce je poměr rozdílu funkční hodnoty f(x) v bodech x+Δx a x s Δx, když Δx je nekonečně malé. Derivace je sklon funkce nebo sklon tečny v bodě x.

 

f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

Druhá derivace

Druhá derivace je dána vztahem:

Nebo jednoduše odvoďte první derivaci:

f''(x)=(f'(x))'

N-tá derivace

N -tá derivace se vypočítá odvozením f(x) n krát.

N -tá derivace se rovná derivaci (n-1) derivace:

f (n)(x) = [f (n-1)(x)]'

Příklad:

Najděte čtvrtou derivaci

f ( x ) = 2 x 5

f (4) ( x ) = [2 x 5 ]'''' = [10 x 4 ]''' = [40 x 3 ]'' = [120 x 2 ]' = 240 x

Derivace na grafu funkce

Derivace funkce je sklon tečné přímky.

Pravidla odvození

Pravidlo derivačního součtu

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)
Pravidlo odvozeného produktu

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)
Pravidlo derivačního kvocientu \left ( \frac{f(x)}{g(x)} \right )'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2( X)}
Pravidlo derivačního řetězce

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

Pravidlo derivačního součtu

Když a a b jsou konstanty.

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)

Příklad:

Najděte derivát:

3 x 2 + 4 x.

Podle pravidla součtu:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x2 , g ( x ) = x

f' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x 2 + 4 x )' = 3⋅2 x +4⋅1 = 6 x + 4

Pravidlo odvozeného produktu

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)

Pravidlo derivačního kvocientu

\left ( \frac{f(x)}{g(x)} \right )'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}

Pravidlo derivačního řetězce

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

Toto pravidlo lze lépe pochopit pomocí Lagrangeova zápisu:

\frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\cdot \frac{dg}{dx}

Funkce lineární aproximace

Pro malé Δx můžeme získat aproximaci k f(x 0 +Δx), když známe f(x 0 ) a f ' (x 0 ):

f (x0+Δx) ≈ f (x0) + f '(x0)⋅Δx

Tabulka derivátů funkcí

Název funkce Funkce Derivát

f (x)

 f '( x )
Konstantní

const

0
Lineární

x

1
Napájení

x a

a x a-1
Exponenciální

e x

e x
Exponenciální

a x

a x ln a
Přirozený logaritmus

ln(x)

Logaritmus

logb(x)

Sinus

sin x

cos x
Kosinus

cos x

-sin x
Tečna

tan x

Arcsine

arcsin x

Arccosine

arccos x

Arktangens

arctan x
Hyperbolický sinus

sinh x

cosh x
Hyperbolický kosinus

cosh x

sinh x
Hyperbolická tečna

tanh x

Inverzní hyperbolický sinus

sinh-1 x

Inverzní hyperbolický kosinus

cosh-1 x

Inverzní hyperbolická tečna

tanh-1 x

Příklady odvození

Příklad #1

f (x) = x3+5x2+x+8

f ' (x) = 3x2+2⋅5x+1+0 = 3x2+10x+1

Příklad č. 2

f (x) = sin(3x2)

Při použití pravidla řetězu:

f ' (x) = cos(3x2) ⋅ [3x2]' = cos(3x2) ⋅ 6x

Druhý derivační test

Když je první derivace funkce nula v bodě x 0 .

f '(x0) = 0

Pak druhá derivace v bodě x 0 , f''(x 0 ), může indikovat typ tohoto bodu:

 

f ''(x0) > 0

 místní minimum

f ''(x0) < 0

 místní maximum

f ''(x0) = 0

 neurčeno

 

Viz také

Advertising

POČET
°• CmtoInchesConvert.com •°