Интеграл

Интегрирането е операция, обратна на извеждането.

Интегралът на функция е площта под графиката на функцията.

Дефиниция на неопределен интеграл

Кога dF(x)/dx = f(x) => интеграл(f(x)*dx) = F(x) + c

Неопределени интегрални свойства

интеграл(f(x)+g(x))*dx = интеграл(f(x)*dx) + интеграл(g(x)*dx)

интеграл(a*f(x)*dx) = a*интеграл(f(x)*dx)

интеграл(f(a*x)*dx) = 1/a * F(a*x)+c

интеграл(f(x+b)*dx) = F(x+b)+c

интеграл(f(a*x+b)*dx) = 1/a * F(a*x+b) + c

интеграл(df(x)/dx * dx) = f(x)

Промяна на интеграционна променлива

Когато  иx = g(t)dx = g'(t)*dt

интеграл(f(x)*dx) = интеграл(f(g(t))*g'(t)*dt)

Интеграция по части

интеграл(f(x)*g'(x)*dx) = f(x)*g(x) - интеграл(f'(x)*g(x)*dx)

Таблица на интегралите

интеграл(f(x)*dx = F(x) + c

интеграл(a*dx) = a*x+c

интеграл(x^n*dx) = 1/(a+1) * x^(a+1) + c, когато a<>-1

интеграл(1/x*dx) = ln(abs(x)) + c

интеграл(e^x*dx) = e^x + c

интеграл(a^x*dx) = a^x / ln(x) + c

интеграл(ln(x)*dx) = x*ln(x) - x + c

интеграл(sin(x)*dx) = -cos(x) + c

интеграл(cos(x)*dx) = sin(x) + c

интеграл(tan(x)*dx) = -ln(abs(cos(x))) + c

интеграл(arcsin(x)*dx) = x*arcsin(x) + sqrt(1-x^2) + c

интеграл(arccos(x)*dx) = x*arccos(x) - sqrt(1-x^2) + c

интеграл(arctan(x)*dx) = x*arctan(x) - 1/2*ln(1+x^2) + c

интеграл(dx/(ax+b)) = 1/a*ln(abs(a*x+b)) + c

интеграл(1/sqrt(a^2-x^2)*dx) = arcsin(x/a) + c

интеграл(1/sqrt(x^2 +- a^2)*dx) = ln(abs(x + sqrt(x^2 +- a^2)) + c

интеграл(x*sqrt(x^2-a^2)*dx) = 1/(a*arccos(x/a)) + c

интеграл(1/(a^2+x^2)*dx) = 1/a*arctan(x/a) + c

интеграл(1/(a^2-x^2)*dx) = 1/2a*ln(abs(((a+x)/(ax))) + c

интеграл(sinh(x)*dx) = cosh(x) + c

интеграл(cosh(x)*dx) = sinh(x) + c

интеграл(tanh(x)*dx) = ln(cosh(x)) + c

 

Определение на определен интеграл

интеграл(a..b, f(x)*dx) = lim(n->inf, сума(i=1..n, f(z(i))*dx(i)))  

Когаx0=a, xn=b

dx(k) = x(k) - x(k-1)

x(k-1) <= z(k) <=x(k)

Определен интеграл

когато  ,

 dF(x)/dx = f(x)  и

интеграл(a..b, f(x)*dx) = F(b) - F(a)  

Определени интегрални свойства

интеграл(a..b, (f(x)+g(x))*dx) = интеграл(a..b, f(x)*dx) + интеграл(a..b, g(x)*dx )

интеграл(a..b, c*f(x)*dx) = c*интеграл(a..b, f(x)*dx)

интеграл(a..b, f(x)*dx) = - интеграл(b..a, f(x)*dx)

интеграл(a..b, f(x)*dx) = интеграл(a..c, f(x)*dx) + интеграл(c..b, f(x)*dx)

abs(интеграл(a..b, f(x)*dx) ) <= интеграл(a..b, abs(f(x))*dx)

min(f(x))*(ba) <= интеграл(a..b, f(x)*dx) <= max(f(x))*(ba) когаx член на [a,b]

Промяна на интеграционна променлива

когато  ,  ,  ,x = g(t)dx = g'(t)*dtg(алфа) = аg(бета) = b

интеграл(a..b, f(x)*dx) = интеграл(алфа..бета, f(g(t))*g'(t)*dt)

Интеграция по части

интеграл(a..b, f(x)*g'(x)*dx) = интеграл(a..b, f(x)*g(x)*dx) - интеграл(a..b, f' (x)*g(x)*dx)

Теорема за средната стойност

Когато f ( x ) е непрекъсната, има точка  така c е член на [a,b]

интеграл(a..b, f(x)*dx) = f(c)*(ba)   

Трапецовидна апроксимация на определен интеграл

интеграл(a..b, f(x)*dx) ~ (ba)/n * (f(x(0))/2 + f(x(1)) + f(x(2)) +.. .+ f(x(n-1)) + f(x(n))/2)

Гама функцията

gamma(x) = integral(0..inf, t^(x-1)*e^(-t)*dt

Гама функцията е конвергентна за x> 0 .

Свойства на гама функцията

G(x+1) = xG(x)

G(n+1) = n! , when nis member ofℕ (positive integer).

Бета функцията

B(x,y) = интеграл(0..1, t^(n-1)*(1-t)^(y-1)*dt

Връзка между бета функция и гама функция

B(x,y) = Гама(x)*Гама(y)/Гама(x+y)

 

Advertising

 

 

СЧИТАНИЯ
°• CmtoInchesConvert.com •°