Трансформация на Лаплас

Функция на трансформация на Лаплас
Таблица за трансформация на Лаплас
Свойства на трансформацията на Лаплас
Примери за трансформация на Лаплас

Трансформацията на Лаплас преобразува функция във времева област в s-домейн функция чрез интегриране от нула до безкрайност

на функцията във времевата област, умножена по e ^-st .

Преобразуването на Лаплас се използва за бързо намиране на решения за диференциални уравнения и интеграли.

Извличането във времевия домейн се трансформира в умножение по s в s-домейна.

Интегрирането във времевия домейн се трансформира в деление на s в s-домейна.

Функция на трансформация на Лаплас

Трансформацията на Лаплас се дефинира с оператора L {}:

$F(s)=\mathcal{L}\left \{ f(t)\right \}=\int_{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt$

Обратно преобразуване на Лаплас

Обратното преобразуване на Лаплас може да се изчисли директно.

Обикновено обратната трансформация се дава от таблицата на трансформациите.

Таблица за трансформация на Лаплас

Име на функцията	Функция във времева област	Преобразуване на Лаплас
Име на функцията	f (t)	F(s) = L{f (t)}
Константа	1	$\frac{1}{s}$
Линеен	T	$\frac{1}{s^2}$
Мощност	tⁿ	$\frac{n!}{s^{n+1}}$
Мощност	t^a	Γ(a+1) ⋅ s ^-(a+1)
експонента	e^at	$\frac{1}{sa}$
синус	sin at	$\frac{a}{s^2+a^2}$
Косинус	cos at	$\frac{s}{s^2+a^2}$
Хиперболичен синус	sinh at	$\frac{a}{s^2-a^2}$
Хиперболичен косинус	cosh at	$\frac{s}{s^2-a^2}$
Нарастващ синус	t sin at	$\frac{2as}{(s^2+a^2)^2}$
Нарастващ косинус	t cos at	$\frac{s^2-a^2}{(s^2+a^2)^2}$
Затихващ синус	e^-atsin ωt	$\frac{\omega }{\left ( s+a \right )^2+\omega ^2}$
Западащ косинус	e^-atcos ωt	$\frac{s+a }{\left ( s+a \right )^2+\omega ^2}$
Делта функция	δ(t)	1
Забавена делта	δ(t-a)	e^-as

Свойства на трансформацията на Лаплас

Име на собственост	Функция във времева област	Преобразуване на Лаплас	Коментирайте
	f (t)	F(s)
Линейност	af ( t )+ bg ( t )	aF ( s ) + bG ( s )	a , b са постоянни
Промяна на мащаба	е ( при )	$\frac{1}{a}F\наляво ( \frac{s}{a} \right )$	а >0
Shift	e ^-при f ( t )	F ( s + a )
Закъснение	е ( та )	e ^{- като} F ( s )
Извеждане	$\frac{df(t)}{dt}$	sF ( s ) - f (0)
N-то извеждане	$\frac{d^nf(t)}{dt^n}$	s ⁿ f ( s ) - s ^{n -1}f (0) - s ^{n -2}f '(0)-...- f ^{( n -1)} (0)
Мощност	t ⁿ f ( t )	$(-1)^n\frac{d^nF(s)}{ds^n}$
Интеграция	$\int_{0}^{t}f(x)dx$	$\frac{1}{s}F(s)$
Реципрочен	$\frac{1}{t}f(t)$	$\int_{s}^{\infty }F(x)dx$
Конволюция	f ( t ) * g ( t )	F ( s ) ⋅ G ( s )	* е конволюционният оператор
Периодична функция	f ( t ) = f ( t + T )	$\frac{1}{1-e^{-sT}}\int_{0}^{T}e^{-sx}f(x)dx$

Примери за трансформация на Лаплас

Пример #1

Намерете трансформацията на f(t):

f (t) = 3t + 2t²

Решение:

ℒ{t} = 1/s²

ℒ{t²} = 2/s³

F(s) = ℒ{f (t)} = ℒ{3t + 2t²} = 3ℒ{t} + 2ℒ{t²} = 3/s² + 4/s³

Пример #2

Намерете обратното преобразуване на F(s):

F(s) = 3 / (s² + s - 6)

Решение:

За да намерим обратното преобразуване, трябва да променим функцията на домейн s в по-проста форма:

F(s) = 3 / (s² + s - 6) = 3 / [(s-2)(s+3)] = a / (s-2) + b / (s+3)

[a(s+3) + b(s-2)] / [(s-2)(s+3)] = 3 / [(s-2)(s+3)]

a(s+3) + b(s-2) = 3

За да намерим a и b, получаваме 2 уравнения - едно от коефициентите s и второ от останалите:

(a+b)s + 3a-2b = 3

a+b = 0 , 3a-2b = 3

a = 3/5 , b = -3/5

F(s) = 3 / 5(s-2) - 3 / 5(s+3)

Сега F(s) могат да бъдат трансформирани лесно с помощта на таблицата за трансформации за експонентна функция:

f (t) = (3/5)e^2t - (3/5)e^-3t