Конволюция

Конволюцията е корелационната функция на f(τ) с обратната функция g(t-τ).

Операторът за навиване е символът звездичка * .

Конволюцията на f(t) и g(t) е равна на интеграла от f(τ) по f(t-τ):

$f(t)*g(t)=\int_{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )d\tau$

Конволюцията на 2 дискретни функции се дефинира като:

$f(n)*g(n)=\sum_{k=-\infty }^{\infty }f(k)\: g(nk)$

Двуизмерната дискретна конволюция обикновено се използва за обработка на изображения.

$f(n,m)*g(n,m)=\sum_{j=-\infty }^{\infty }\sum_{k=-\infty }^{\infty }f(j,k)\: g(nj,mk)$

Можем да филтрираме дискретния входен сигнал x(n) чрез конволюция с импулсната характеристика h(n), за да получим изходния сигнал y(n).

y(n) = x(n) * h(n)

Преобразуването на Фурие на умножение на 2 функции е равно на конволюцията на преобразуванията на Фурие на всяка функция:

ℱ{f ⋅ g} = ℱ{f } * ℱ{g}

Преобразуването на Фурие на конволюция от 2 функции е равно на умножението на преобразуванията на Фурие на всяка функция:

ℱ{f * g} = ℱ{f } ⋅ ℱ{g}

ℱ{f (t) ⋅ g(t)} = ℱ{f (t)} * ℱ{g(t)} = F(ω) * G(ω)

ℱ{f (t) * g(t)} = ℱ{f (t)} ⋅ ℱ{g(t)} = F(ω) ⋅ G(ω)

ℱ{f (n) ⋅ g(n)} = ℱ{f (n)} * ℱ{g(n)} = F(k) * G(k)

ℱ{f (n) * g(n)} = ℱ{f (n)} ⋅ ℱ{g(n)} = F(k) ⋅ G(k)

ℒ{f (t) * g(t)} = ℒ{f (t)} ⋅ ℒ{g(t)} = F(s) ⋅ G(s)

Вижте също