Производни правила

Производни правила и закони. Таблица с производни на функции.

Производна дефиниция

Производната на функция е отношението на разликата на стойността на функцията f(x) в точки x+Δx и x с Δx, когато Δx е безкрайно малка. Производната е наклонът на функцията или наклонът на допирателната в точка x.

 

f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

Втора производна

Второто производно се дава от:

Или просто извлечете първата производна:

f''(x)=(f'(x))'

N-та производна

n - тата производна се изчислява чрез извличане на f(x) n пъти.

n - тата производна е равна на производната на (n-1) производната:

f (n)(x) = [f (n-1)(x)]'

Пример:

Намерете четвъртата производна на

f ( x ) = 2 x 5

f (4) ( x ) = [2 x 5 ]'''' = [10 x 4 ]''' = [40 x 3 ]'' = [120 x 2 ]' = 240 x

Производна върху графика на функция

Производната на функция е наклонът на допирателната.

Производни правила

Правило за производна сума

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)
Правило за производен продукт

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)
Правило за производно коефициент \left ( \frac{f(x)}{g(x)} \right )'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2( х)}
Правило за производна верига

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

Правило за производна сума

Когато a и b са константи.

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)

Пример:

Намерете производната на:

3 х 2 + 4 х.

Според правилото за сумата:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x 2 , g ( x ) = x

f' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x 2 + 4 x )' = 3⋅2 x +4⋅1 = 6 x + 4

Правило за производен продукт

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)

Правило за производно коефициент

\left ( \frac{f(x)}{g(x)} \right )'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}

Правило за производна верига

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

Това правило може да се разбере по-добре с нотацията на Лагранж:

\frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\cdot \frac{dg}{dx}

Функционална линейна апроксимация

За малък Δx можем да получим приближение до f(x 0 +Δx), когато знаем f(x 0 ) и f ' (x 0 ):

f (x0+Δx) ≈ f (x0) + f '(x0)⋅Δx

Таблица с производни на функции

Име на функцията функция Производна

f (x)

 f '( x )
Константа

const

0
Линеен

x

1
Мощност

x a

a x a-1
Експоненциален

e x

e x
Експоненциален

a x

a x ln a
Натурален логаритъм

ln(x)

Логаритъм

logb(x)

синус

sin x

cos x
Косинус

cos x

-sin x
Допирателна

tan x

Арксинус

arcsin x

Аркосинус

arccos x

Арктангенс

arctan x
Хиперболичен синус

sinh x

cosh x
Хиперболичен косинус

cosh x

sinh x
Хиперболичен тангенс

tanh x

Обратен хиперболичен синус

sinh-1 x

Обратен хиперболичен косинус

cosh-1 x

Обратен хиперболичен тангенс

tanh-1 x

Производни примери

Пример #1

f (x) = x3+5x2+x+8

f ' (x) = 3x2+2⋅5x+1+0 = 3x2+10x+1

Пример #2

f (x) = sin(3x2)

При прилагане на верижното правило:

f ' (x) = cos(3x2) ⋅ [3x2]' = cos(3x2) ⋅ 6x

Тест за втора производна

Когато първата производна на функция е нула в точка x 0 .

f '(x0) = 0

Тогава втората производна в точка x 0 , f''(x 0 ), може да посочи типа на тази точка:

 

f ''(x0) > 0

 местен минимум

f ''(x0) < 0

 локален максимум

f ''(x0) = 0

 неопределен

 

Вижте също

Advertising

СЧИТАНИЯ
°• CmtoInchesConvert.com •°