拉普拉斯變換

拉普拉斯變換函數
拉普拉斯變換錶
拉普拉斯變換屬性
拉普拉斯變換示例

拉普拉斯變換通過從零到無窮大的積分將時域函數轉換為 s 域函數

時域函數的乘以e ^-st。

拉普拉斯變換用於快速找到微分方程和積分的解。

時域中的推導轉換為 s 域中的 s 乘法。

時域中的積分轉換為 s 域中的除以 s。

拉普拉斯變換函數

拉普拉斯變換是用L {} 運算符定義的：

$F(s)=\mathcal{L}\left \{ f(t)\right \}=\int_{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt$

逆拉普拉斯變換

可以直接計算拉普拉斯逆變換。

通常逆變換是從變換錶中給出的。

拉普拉斯變換錶

函數名稱	時域函數	拉普拉斯變換
函數名稱	f (t)	F(s) = L{f (t)}
持續的	1個	$\frac{1}{s}$
線性的	噸	$\frac{1}{s^2}$
力量	tⁿ	$\frac{n!}{s^{n+1}}$
力量	t^a	Γ(a+1) ⋅ s ^-(a+1)
指數	e^at	$\frac{1}{sa}$
正弦波	sin at	$\frac{a}{s^2+a^2}$
餘弦	cos at	$\frac{s}{s^2+a^2}$
雙曲正弦	sinh at	$\frac{a}{s^2-a^2}$
雙曲餘弦	cosh at	$\frac{s}{s^2-a^2}$
增長正弦	t sin at	$\frac{2as}{(s^2+a^2)^2}$
增長余弦	t cos at	$\frac{s^2-a^2}{(s^2+a^2)^2}$
衰減正弦	e^-atsin ωt	$\frac{\omega }{\left ( s+a \right )^2+\omega ^2}$
衰減餘弦	e^-atcos ωt	$\frac{s+a }{\left ( s+a \right )^2+\omega ^2}$
三角函數	δ(t)	1
延遲增量	δ(t-a)	e^-as

拉普拉斯變換屬性

物業名稱	時域函數	拉普拉斯變換	評論
	f (t)	F(s)
線性度	af ( t )+ bg ( t )	aF (小號) + bG (小號)	a , b是常量
規模變化	f (在)	$\frac{1}{a}F\left ( \frac{s}{a} \right )$	一個> 0
轉移	e ^{- 在} f ( t )	F (小號+一個)
延遲	f (大)	e ^-作為F ( s )
推導	$\frac{df(t)}{dt}$	sF ( s ) - f (0)
N次微分	$\frac{d^nf(t)}{dt^n}$	s ⁿ f ( s ) - s ^{n -1}f (0) - s ^{n -2}f '(0)-...- f ^{( n -1)} (0)
力量	t ⁿ f ( t )	$(-1)^n\frac{d^nF(s)}{ds^n}$
一體化	$\int_{0}^{t}f(x)dx$	$\frac{1}{s}F(s)$
互惠的	$\frac{1}{t}f(t)$	$\int_{s}^{\infty }F(x)dx$
卷積	f ( t ) * g ( t )	F (小號) ⋅ G (小號)	* 是卷積運算符
週期函數	f ( t ) = f ( t + T )	$\frac{1}{1-e^{-sT}}\int_{0}^{T}e^{-sx}f(x)dx$

拉普拉斯變換示例

示例#1

找到 f(t) 的變換：

f (t) = 3t + 2t²

解決方案：

ℒ{t} = 1/s²

ℒ{t²} = 2/s³

F(s) = ℒ{f (t)} = ℒ{3t + 2t²} = 3ℒ{t} + 2ℒ{t²} = 3/s² + 4/s³

例子#2

找到 F(s) 的逆變換：

F(s) = 3 / (s² + s - 6)

解決方案：

為了找到逆變換，我們需要將 s 域函數更改為更簡單的形式：

F(s) = 3 / (s² + s - 6) = 3 / [(s-2)(s+3)] = a / (s-2) + b / (s+3)

[a(s+3) + b(s-2)] / [(s-2)(s+3)] = 3 / [(s-2)(s+3)]

a(s+3) + b(s-2) = 3

為了找到 a 和 b，我們得到 2 個方程式 - 一個是 s 係數，另一個是其餘的：

(a+b)s + 3a-2b = 3

a+b = 0 , 3a-2b = 3

a = 3/5 , b = -3/5

F(s) = 3 / 5(s-2) - 3 / 5(s+3)

現在可以使用指數函數的轉換錶輕鬆轉換 F(s)：

f (t) = (3/5)e^2t - (3/5)e^-3t