衍生規則
衍生規則和法律。函數表的導數。
導數定義
函數的導數是函數值f(x)在x+Δx和x點的差值與Δx的比值，當Δx無窮小時。導數是 x 點切線的函數斜率或斜率。
二階導數
二階導數由下式給出：
或者簡單地導出一階導數：
N次導數
n次導數是通過對f(x)求n次來計算的。
n次導數等於第(n-1)次導數的導數：
f (n)(x) = [f (n-1)(x)]'
例子：
求出的四階導數
f ( x ) = 2 x 5
f (4) ( x ) = [2 x 5 ]'''' = [10 x 4 ]''' = [40 x 3 ]'' = [120 x 2 ]' = 240 x
函數圖上的導數
函數的導數是切線的斜率。
衍生規則
| 導數求和法則 |
( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x) |
| 衍生產品規則 |
( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x) |
| 導商法則 |
 |
| 衍生鏈規則 |
f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x) |
導數求和法則
當a和b為常數時。
( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)
例子：
求導數：
3 x 2 + 4 x。
根據求和法則：
a = 3, b = 4
f ( x ) = x 2 , g ( x ) = x
f' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1
(3 x 2 + 4 x )' = 3⋅2 x +4⋅1 = 6 x + 4
衍生產品規則
( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)
導商法則
衍生鏈規則
f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)
這個規則可以用拉格朗日符號更好地理解：
函數線性逼近
對於較小的 Δx，當我們知道 f(x 0 ) 和 f ' (x 0 ) 時，我們可以獲得 f(x 0 +Δx)的近似值：
f (x0+Δx) ≈ f (x0) + f '(x0)⋅Δx
函數表的導數
| 函數名稱 | 功能 | 衍生物 |
|---|---|---|
|
f (x) |
f '( x ) | |
| 持續的 |
const |
0 |
| 線性的 |
x |
1 |
| 力量 |
x a |
a x a-1 |
| 指數型 |
e x |
e x |
| 指數型 |
a x |
a x ln a |
| 自然對數 |
ln(x) |
|
| 對數 |
logb(x) |
|
| 正弦波 |
sin x |
cos x |
| 餘弦 |
cos x |
-sin x |
| 切線 |
tan x |
|
| 反正弦 |
arcsin x |
|
| 反餘弦 |
arccos x |
|
| 反正切 |
arctan x |
 |
| 雙曲正弦 |
sinh x |
cosh x |
| 雙曲餘弦 |
cosh x |
sinh x |
| 雙曲正切 |
tanh x |
|
| 反雙曲正弦 |
sinh-1 x |
|
| 反雙曲餘弦 |
cosh-1 x |
|
| 反雙曲正切 |
tanh-1 x |
|
衍生例子
示例#1
f (x) = x3+5x2+x+8
f ' (x) = 3x2+2⋅5x+1+0 = 3x2+10x+1
例子#2
f (x) = sin(3x2)
應用鍊式法則時：
f ' (x) = cos(3x2) ⋅ [3x2]' = cos(3x2) ⋅ 6x
二階導數檢驗
當函數的一階導數在點 x 0處為零時。
f '(x0) = 0
那麼 x 0點的二階導數f''(x 0 ) 可以表示該點的類型：
|
f ''(x0) > 0 |
局部最小值 |
|
f ''(x0) < 0 |
局部最大值 |
|
f ''(x0) = 0 |
未定 |