卷積

卷積是 f(τ) 與反轉函數 g(t-τ) 的相關函數。

卷積運算符是星號*。

f(t) 和 g(t) 的捲積等於 f(τ) 乘以 f(t-τ) 的積分：

$f(t)*g(t)=\int_{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )d\tau$

2個離散函數的捲積定義為：

$f(n)*g(n)=\sum_{k=-\infty }^{\infty }f(k)\: g(nk)$

二維離散卷積通常用於圖像處理。

$f(n,m)*g(n,m)=\sum_{j=-\infty }^{\infty }\sum_{k=-\infty }^{\infty }f(j,k)\: g(nj,mk)$

我們可以通過與脈衝響應 h(n) 卷積對離散輸入信號 x(n) 進行濾波，得到輸出信號 y(n)。

y(n) = x(n) * h(n)

2 個函數相乘的傅里葉變換等於每個函數的傅里葉變換的捲積：

ℱ{f ⋅ g} = ℱ{f } * ℱ{g}

2 個函數的捲積的傅里葉變換等於每個函數的傅里葉變換的乘積：

ℱ{f * g} = ℱ{f } ⋅ ℱ{g}

ℱ{f (t) ⋅ g(t)} = ℱ{f (t)} * ℱ{g(t)} = F(ω) * G(ω)

ℱ{f (t) * g(t)} = ℱ{f (t)} ⋅ ℱ{g(t)} = F(ω) ⋅ G(ω)

ℱ{f (n) ⋅ g(n)} = ℱ{f (n)} * ℱ{g(n)} = F(k) * G(k)

ℱ{f (n) * g(n)} = ℱ{f (n)} ⋅ ℱ{g(n)} = F(k) ⋅ G(k)

ℒ{f (t) * g(t)} = ℒ{f (t)} ⋅ ℒ{g(t)} = F(s) ⋅ G(s)

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