Biến đổi laplace

Hàm biến đổi Laplace
Bảng biến đổi Laplace
Thuộc tính biến đổi Laplace
Ví dụ biến đổi Laplace

Biến đổi Laplace chuyển đổi hàm miền thời gian thành hàm miền s bằng tích phân từ 0 đến vô cùng

của hàm miền thời gian, nhân với e ^-st .

Biến đổi Laplace được dùng để tìm nhanh nghiệm của phương trình vi phân và tích phân.

Đạo hàm trong miền thời gian được chuyển thành phép nhân với s trong miền s.

Tích phân trong miền thời gian được chuyển thành phép chia cho s trong miền s.

Hàm biến đổi Laplace

Biến đổi Laplace được xác định bằng toán tử L {}:

$F(s)=\mathcal{L}\left \{ f(t)\right \}=\int_{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt$

Biến đổi Laplace nghịch đảo

Biến đổi Laplace nghịch đảo có thể được tính trực tiếp.

Thông thường biến đổi nghịch đảo được đưa ra từ bảng biến đổi.

Bảng biến đổi Laplace

Tên chức năng	Hàm miền thời gian	Biến đổi laplace
Tên chức năng	f (t)	F(s) = L{f (t)}
Không thay đổi	1	$\frac{1}{s}$
tuyến tính	t	$\frac{1}{s^2}$
Quyền lực	tⁿ	$\frac{n!}{s^{n+1}}$
Quyền lực	t^a	Γ(a+1) ⋅ s ^-(a+1)
số mũ	e^at	$\frac{1}{sa}$
Sin	sin at	$\frac{a}{s^2+a^2}$
Cô sin	cos at	$\frac{s}{s^2+a^2}$
sin hypebol	sinh at	$\frac{a}{s^2-a^2}$
cosin hypebol	cosh at	$\frac{s}{s^2-a^2}$
trồng sin	t sin at	$\frac{2as}{(s^2+a^2)^2}$
trồng cosin	t cos at	$\frac{s^2-a^2}{(s^2+a^2)^2}$
phân hủy sin	e^-atsin ωt	$\frac{\omega }{\left ( s+a \right )^2+\omega ^2}$
phân rã cosin	e^-atcos ωt	$\frac{s+a }{\left ( s+a \right )^2+\omega ^2}$
hàm delta	δ(t)	1
đồng bằng bị trì hoãn	δ(t-a)	e^-as

Thuộc tính biến đổi Laplace

Tên tài sản	Hàm miền thời gian	Biến đổi laplace	Bình luận
	f (t)	F(s)
tuyến tính	af ( t )+ bg ( t )	aF ( s ) + bG ( s )	a , b là hằng số
thay đổi quy mô	f ( tại )	$\frac{1}{a}F\left ( \frac{s}{a} \right )$	một >0
Sự thay đổi	e ^-at f ( t )	F ( s + a )
Trì hoãn	f ( ta )	e ^{- như} F ( s )
Nguồn gốc	$\frac{df(t)}{dt}$	sF ( s ) - f (0)
đạo hàm thứ n	$\frac{d^nf(t)}{dt^n}$	s ⁿ f ( s ) - s ^{n -1}f (0) - s ^{n -2}f '(0)-...- f ^{( n -1)} (0)
Quyền lực	t ⁿ f ( t )	$(-1)^n\frac{d^nF(s)}{ds^n}$
Hội nhập	$\int_{0}^{t}f(x)dx$	$\frac{1}{s}F(s)$
đối ứng	$\frac{1}{t}f(t)$	$\int_{s}^{\infty }F(x)dx$
tích chập	f ( t ) * g ( t )	F ( s ) ⋅ G ( s )	* là toán tử tích chập
chức năng định kỳ	f ( t ) = f ( t + T )	$\frac{1}{1-e^{-sT}}\int_{0}^{T}e^{-sx}f(x)dx$

Ví dụ biến đổi Laplace

Ví dụ 1

Tìm phép biến hình của f(t):

f (t) = 3t + 2t²

Giải pháp:

ℒ{t} = 1/s²

ℒ{t²} = 2/s³

F(s) = ℒ{f (t)} = ℒ{3t + 2t²} = 3ℒ{t} + 2ℒ{t²} = 3/s² + 4/s³

Ví dụ #2

Tìm phép biến đổi nghịch đảo của F(s):

F(s) = 3 / (s² + s - 6)

Giải pháp:

Để tìm phép biến đổi nghịch đảo, ta cần biến đổi miền hàm s về dạng đơn giản hơn:

F(s) = 3 / (s² + s - 6) = 3 / [(s-2)(s+3)] = a / (s-2) + b / (s+3)

[a(s+3) + b(s-2)] / [(s-2)(s+3)] = 3 / [(s-2)(s+3)]

a(s+3) + b(s-2) = 3

Để tìm a và b, chúng ta nhận được 2 phương trình - một trong các hệ số s và thứ hai của phần còn lại:

(a+b)s + 3a-2b = 3

a+b = 0 , 3a-2b = 3

a = 3/5 , b = -3/5

F(s) = 3 / 5(s-2) - 3 / 5(s+3)

Bây giờ F(s) có thể được biến đổi dễ dàng bằng cách sử dụng bảng biến đổi cho hàm số mũ:

f (t) = (3/5)e^2t - (3/5)e^-3t