quy luật phái sinh

Các quy tắc và luật dẫn xuất.Đạo hàm của bảng hàm.

định nghĩa phái sinh

Đạo hàm của một hàm là tỷ số giữa hiệu của giá trị hàm f(x) tại các điểm x+Δx và x với Δx, khi Δx nhỏ vô cùng.Đạo hàm là hệ số góc hoặc hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm x.

 

f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

Dẫn xuất thứ hai

Đạo hàm thứ hai được cho bởi:

Hoặc đơn giản là lấy được đạo hàm đầu tiên:

f''(x)=(f'(x))'

đạo hàm thứ n

Đạo hàm thứ n được tính bằng cách lấy đạo hàm f(x) n lần.

Đạo hàm thứ n bằng đạo hàm của (n-1) đạo hàm:

f (n)(x) = [f (n-1)(x)]'

Ví dụ:

Tìm đạo hàm bậc bốn của

f ( x ) = 2 x 5

f (4) ( x ) = [2 x 5 ]'''' = [10 x 4 ]''' = [40 x 3 ]'' = [120 x 2 ]' = 240 x

Đạo hàm trên đồ thị hàm số

Đạo hàm của một hàm là hệ số góc của tiếp tuyến.

quy luật phái sinh

Quy tắc tổng đạo hàm

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)
Quy tắc sản phẩm phái sinh

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)
Quy tắc đạo hàm thương \left ( \frac{f(x)}{g(x)} \right )'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2( x)}
Quy tắc chuỗi phái sinh

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

Quy tắc tổng đạo hàm

Khi a , b là các hằng số.

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)

Ví dụ:

Tìm đạo hàm của:

3 x 2 + 4 x.

Theo quy tắc cộng:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x 2 , g ( x ) = x

f' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x 2 + 4 x )' = 3⋅2 x +4⋅1 = 6 x + 4

Quy tắc sản phẩm phái sinh

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)

Quy tắc đạo hàm thương

\left ( \frac{f(x)}{g(x)} \right )'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}

Quy tắc chuỗi phái sinh

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

Quy tắc này có thể được hiểu rõ hơn với ký hiệu của Lagrange:

\frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\cdot \frac{dg}{dx}

Xấp xỉ tuyến tính hàm

Đối với Δx nhỏ, chúng ta có thể lấy xấp xỉ f(x 0 +Δx), khi biết f(x 0 ) và f ' (x 0 ):

f (x0+Δx) ≈ f (x0) + f '(x0)⋅Δx

Đạo hàm của bảng hàm

Tên chức năng Chức năng Phát sinh

f (x)

 f '( x )
Không thay đổi

const

0
tuyến tính

x

1
Quyền lực

x a

a x a-1
số mũ

e x

e x
số mũ

a x

a x ln a
logarit tự nhiên

ln(x)

logarit

logb(x)

Sin

sin x

cos x
Cô sin

cos x

-sin x
Đường tiếp tuyến

tan x

hồ quang

arcsin x

Arccosin

arccos x

vòng cung

arctan x
sin hypebol

sinh x

cosh x
cosin hypebol

cosh x

sinh x
tiếp tuyến hypebol

tanh x

Nghịch đảo sin hyperbolic

sinh-1 x

Nghịch đảo hyperbolic cosin

cosh-1 x

Tiếp tuyến hyperbol nghịch đảo

tanh-1 x

ví dụ phái sinh

Ví dụ 1

f (x) = x3+5x2+x+8

f ' (x) = 3x2+2⋅5x+1+0 = 3x2+10x+1

Ví dụ #2

f (x) = sin(3x2)

Khi áp dụng quy tắc dây chuyền:

f ' (x) = cos(3x2) ⋅ [3x2]' = cos(3x2) ⋅ 6x

kiểm tra đạo hàm thứ hai

Khi đạo hàm bậc nhất của một hàm bằng 0 tại điểm x 0 .

f '(x0) = 0

Khi đó đạo hàm cấp hai tại điểm x 0 , f''(x 0 ), có thể chỉ ra dạng của điểm đó:

 

f ''(x0) > 0

 địa phương tối thiểu

f ''(x0) < 0

 tối đa địa phương

f ''(x0) = 0

 không xác định

 

Xem thêm

Advertising

phép tính
°• CmtoInchesConvert.com •°