لاپلیس ٹرانسفارم

لاپلیس ٹرانسفارم فنکشن
لاپلیس ٹرانسفارم ٹیبل
لاپلاس ٹرانسفارم پراپرٹیز
لاپلیس ٹرانسفارم کی مثالیں۔

لیپلیس ٹرانسفارم صفر سے انفینٹی تک انضمام کے ذریعہ ٹائم ڈومین فنکشن کو ایس ڈومین فنکشن میں تبدیل کرتا ہے۔

ٹائم ڈومین فنکشن کا، e ^-st سے ضرب ۔

لاپلیس ٹرانسفارم کو تیزی سے تفریق مساوات اور انٹیگرلز کے حل تلاش کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے۔

ٹائم ڈومین میں اخذ s-ڈومین میں s سے ضرب میں بدل جاتا ہے۔

ٹائم ڈومین میں انضمام ایس ڈومین میں s کے ذریعے تقسیم میں تبدیل ہو جاتا ہے۔

لاپلیس ٹرانسفارم فنکشن

Laplace ٹرانسفارم کی وضاحت L {} آپریٹر کے ساتھ کی گئی ہے:

$F(s)=\mathcal{L}\left \{ f(t)\right \}=\int_{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt$

الٹا لاپلیس ٹرانسفارم

الٹا لاپلیس ٹرانسفارم کا حساب براہ راست لگایا جا سکتا ہے۔

عام طور پر الٹا ٹرانسفارم ٹرانسفارمز ٹیبل سے دیا جاتا ہے۔

لاپلیس ٹرانسفارم ٹیبل

فنکشن کا نام	ٹائم ڈومین فنکشن	لاپلیس ٹرانسفارم
فنکشن کا نام	f (t)	F(s) = L{f (t)}
مستقل	1
لکیری	t	$فراک{1}{s^2}$
طاقت	tⁿ	$frac{n!}{s^{n+1}}$
طاقت	t^a	Γ(a+1) ⋅ s ^-(a+1)
ایکسپوننٹ	e^at	$frac{1}{sa}$
سائن	sin at	$frac{a}{s^2+a^2}$
کوزائن	cos at	$frac{s}{s^2+a^2}$
ہائپربولک سائن	sinh at	$frac{a}{s^2-a^2}$
ہائپربولک کوزائن	cosh at	$frac{s}{s^2-a^2}$
بڑھتی ہوئی سائن	t sin at	$frac{2as}{(s^2+a^2)^2}$
بڑھتی ہوئی کوسائن	t cos at	$frac{s^2-a^2}{(s^2+a^2)^2}$
زوال پذیر سائین	e^-atsin ωt	$\frac{\omega }{\left ( s+a \right )^2+\omega ^2}$
بوسیدہ کوسائن	e^-atcos ωt	$\frac{s+a }{\left ( s+a \right )^2+\omega ^2}$
ڈیلٹا فنکشن	δ(t)	1
تاخیر کا شکار ڈیلٹا	δ(t-a)	e^-as

لاپلاس ٹرانسفارم پراپرٹیز

پراپرٹی کا نام	ٹائم ڈومین فنکشن	لاپلیس ٹرانسفارم	تبصرہ
	f (t)	F(s)
لکیریت	af ( t ) + bg ( t )	aF ( s ) + bG ( s )	a ، b مستقل ہیں۔
پیمانے کی تبدیلی	f ( at )	$\frac{1}{a}F\left (\frac{s}{a} \ right )$	a >0
شفٹ	e ^-at f ( t )	F ( s + a )
تاخیر	f ( ta )	e ^{- بطور} F ( s )
اخذ	$frac{df(t)}{dt}$	sF ( s ) - f (0)
N-th اخذ	$frac{d^nf(t)}{dt^n}$	s ⁿ f ( s ) - s ^{n -1}f (0) - s ^{n -2}f ' (0) -...- f ^{( n -1)} (0)
طاقت	t ⁿ f ( t )	$(-1)^n\frac{d^nF(s)}{ds^n}$
انضمام	$\int_{0}^{t}f(x)dx$	$frac{1}{s}F(s)$
باہمی	$frac{1}{t}f(t)$	$\int_{s}^{\infty }F(x)dx$
کنولیشن	f ( t ) * g ( t )	F ( s ) ⋅ G ( s )	* کنوولوشن آپریٹر ہے۔
متواتر فنکشن	f ( t ) = f ( t + T )	$frac{1}{1-e^{-sT}}\int_{0}^{T}e^{-sx}f(x)dx$

لاپلیس ٹرانسفارم کی مثالیں۔

مثال نمبر 1

f(t) کی تبدیلی تلاش کریں:

f (t) = 3t + 2t²

حل:

ℒ{t} = 1/s²

ℒ{t²} = 2/s³

F(s) = ℒ{f (t)} = ℒ{3t + 2t²} = 3ℒ{t} + 2ℒ{t²} = 3/s² + 4/s³

مثال نمبر 2

F(s) کی الٹی تبدیلی تلاش کریں:

F(s) = 3 / (s² + s - 6)

حل:

الٹا تبدیلی تلاش کرنے کے لیے، ہمیں s ڈومین فنکشن کو ایک آسان شکل میں تبدیل کرنے کی ضرورت ہے:

F(s) = 3 / (s² + s - 6) = 3 / [(s-2)(s+3)] = a / (s-2) + b / (s+3)

[a(s+3) + b(s-2)] / [(s-2)(s+3)] = 3 / [(s-2)(s+3)]

a(s+3) + b(s-2) = 3

a اور b کو تلاش کرنے کے لیے، ہمیں 2 مساوات ملتے ہیں - ایک s کوفییشینٹس میں سے ایک اور باقی کا دوسرا:

(a+b)s + 3a-2b = 3

a+b = 0 , 3a-2b = 3

a = 3/5 , b = -3/5

F(s) = 3 / 5(s-2) - 3 / 5(s+3)

اب F(s) کو ایکسپوننٹ فنکشن کے لیے ٹرانسفارمز ٹیبل کا استعمال کر کے آسانی سے تبدیل کیا جا سکتا ہے۔

f (t) = (3/5)e^2t - (3/5)e^-3t