Laplace Dönüşümü

Laplace dönüştürme işlevi
Laplace dönüşüm tablosu
Laplace dönüşümü özellikleri
Laplace dönüşümü örnekleri

Laplace dönüşümü, sıfırdan sonsuza entegrasyon yoluyla bir zaman alanı işlevini s-alanı işlevine dönüştürür

zaman alanı fonksiyonunun e ^-st ile çarpılması .

Laplace dönüşümü, diferansiyel denklemler ve integraller için hızlı bir şekilde çözüm bulmak için kullanılır.

Zaman alanındaki türetme, s-bölgesindeki s ile çarpmaya dönüştürülür.

Zaman alanındaki entegrasyon, s-alanındaki s ile bölmeye dönüştürülür.

Laplace dönüştürme işlevi

Laplace dönüşümü, L {} operatörüile tanımlanır :

$F(s)=\mathcal{L}\left \{ f(t)\right \}=\int_{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt$

Ters Laplace dönüşümü

Ters Laplace dönüşümü doğrudan hesaplanabilir.

Genellikle ters dönüşüm, dönüşümler tablosundan verilir.

Laplace dönüşüm tablosu

Fonksiyon adı	Zaman alanı işlevi	Laplace dönüşümü
Fonksiyon adı	f (t)	F(s) = L{f (t)}
Devamlı	1	$\frac{1}{s}$
Doğrusal	T	$\frac{1}{s^2}$
Güç	tⁿ	$\frac{n!}{s^{n+1}}$
Güç	t^a	Γ(a+1) ⋅ s ^-(a+1)
üs	e^at	$\frac{1}{sa}$
Sinüs	sin at	$\frac{a}{s^2+a^2}$
Kosinüs	cos at	$\frac{s}{s^2+a^2}$
hiperbolik sinüs	sinh at	$\frac{a}{s^2-a^2}$
hiperbolik kosinüs	cosh at	$\frac{s}{s^2-a^2}$
Büyüyen sinüs	t sin at	$\frac{2as}{(s^2+a^2)^2}$
Büyüyen kosinüs	t cos at	$\frac{s^2-a^2}{(s^2+a^2)^2}$
çürüyen sinüs	e^-atsin ωt	$\frac{\omega }{\left ( s+a \right )^2+\omega ^2}$
çürüyen kosinüs	e^-atcos ωt	$\frac{s+a }{\left ( s+a \right )^2+\omega ^2}$
Delta işlevi	δ(t)	1
gecikmeli delta	δ(t-a)	e^-as

Laplace dönüşümü özellikleri

Mülkiyet adı	Zaman alanı işlevi	Laplace dönüşümü	Yorum
	f (t)	F(s)
doğrusallık	af ( t )+ bg ( t )	aF ( ler ) + bG ( ler )	a , b sabittir
Ölçek değişikliği	f ( en )	$\frac{1}{a}F\left ( \frac{s}{a} \right )$	bir >0
Vardiya	e ^-at f ( t )	F ( s + bir )
Gecikme	f ( ta )	e ^-F ( ler ) ^olarak
türetme	$\frac{df(t)}{dt}$	sF ( ler ) - f (0)
N'inci türev	$\frac{d^nf(t)}{dt^n}$	s ⁿ f ( s ) - s ^{n -1}f (0) - s ^{n -2}f '(0)-...- f ^{( n -1)} (0)
Güç	t ⁿ f ( t )	$(-1)^n\frac{d^nF(ler)}{ds^n}$
Entegrasyon	$\int_{0}^{t}f(x)dx$	$\frac{1}{s}F(ler)$
Karşılıklı	$\frac{1}{t}f(t)$	$\int_{s}^{\infty }F(x)dx$
evrişim	f ( t ) * g ( t )	F ( ler ) ⋅ G ( ler )	* evrişim operatörüdür
periyodik fonksiyon	f ( t ) = f ( t + T )	$\frac{1}{1-e^{-sT}}\int_{0}^{T}e^{-sx}f(x)dx$

Laplace dönüşümü örnekleri

Örnek 1

f(t)'nin dönüşümünü bulun:

f (t) = 3t + 2t²

Çözüm:

ℒ{t} = 1/s²

ℒ{t²} = 2/s³

F(s) = ℒ{f (t)} = ℒ{3t + 2t²} = 3ℒ{t} + 2ℒ{t²} = 3/s² + 4/s³

Örnek 2

F(s)'nin ters dönüşümünü bulun:

F(s) = 3 / (s² + s - 6)

Çözüm:

Ters dönüşümü bulmak için s tanım alanı fonksiyonunu daha basit bir forma dönüştürmemiz gerekir:

F(s) = 3 / (s² + s - 6) = 3 / [(s-2)(s+3)] = a / (s-2) + b / (s+3)

[a(s+3) + b(s-2)] / [(s-2)(s+3)] = 3 / [(s-2)(s+3)]

a(s+3) + b(s-2) = 3

a ve b'yi bulmak için 2 denklem elde ederiz - s katsayılarından biri ve geri kalanın ikincisi:

(a+b)s + 3a-2b = 3

a+b = 0 , 3a-2b = 3

a = 3/5 , b = -3/5

F(s) = 3 / 5(s-2) - 3 / 5(s+3)

Artık F(s), üs işlevi için dönüşümler tablosu kullanılarak kolayca dönüştürülebilir:

f (t) = (3/5)e^2t - (3/5)e^-3t